Распределение нулей производных кси-функции Римана

• Автор: Резвякова, Ирина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с.

Оглавление
Введение
Обозначения
Глава 1. Вспомогательные утверждения
§1.1. Вспомогательные леммы
§1.2. Основные леммы
Глава 2. Доказательство основного результата
§2.1. Оценка доли нулей функции £к(в), лежащих на
критической прямой, через интеграл 3
§2.2. "Явная" формула для интеграла Зк
§2.3. Асимптотическая формула для интеграла 3к- Доказательство теоремы
Литература

Введение
В теории дзета-функции Римана одним из интереснейших является вопрос о справедливости гипотезы Римана, которая утверждает, что все нетривиальные нули функции C(s) лежат на прямой Res = Гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Кси-функция Римана £(s) для комплексного числа s = а + it определяется равенством
£0) = - 1)тГ3/2Г (0 С 0),
где r(s) — гамма-функция Эйлера. Функция £(s) — целая, первого порядка, и ее пули являются нетривиальными нулями дзета-функции Римана (т.е. отличными от тривиальных нулей s = —2, —4
£0) = £(1-Ф
является вещественной при вещественных s и на прямой Res = Легко показать, что ф) не имеет нулей при Res > 1. В 1896 г. Валле-Пуссен доказал, что на прямой Res = 1 нет нулей кси-функции Римана. Поэтому из функционального уравнения будет следовать, что -функция не имеет нулей при Re s < 0. Таким образом, все нули £(s) лежат в полосе 0 < Re s < 1, которая в теории дзета-функции Римана называется критической полосой. Прямая же Res = | получила название критической прямой. Поскольку функция £(s) вещественно аналитическая, то ее нули симметричны относительно вещественной прямой, и достаточно, к примеру, исследовать нули с Ims > 0. Можно занумеровать нули рп = /Зп + iln (п = 1,2
причем если 7п = 7+1, то Р„ < /3n+i. Еще Б. Риманом были вычислены первые несколько нулей. В 1986г. [1] найдены первые 1,5 х 109 + 1 нулей, и все они лежат на критической прямой. В настоящее время ведутся компьютерные вычисления нулей с очень большими номерами. В статье А. Од-лыжко сборника [2, pp. 139—144] говорится, что найдены нули с номерами 1022 - 109 < п < 1022 + 109 и ни один из них не лежит вне критической прямой.
Обозначим через N(T) число нулей кси-функции Римана в прямоугольнике 0 < Res < 1, 0 < Irns < Т. Согласно формуле Римана-Мангольдта справедливо равенство:
Эта формула доказана Мангольдтом в 1905 году, а позже Зигель обнаружил доказательство этой асимтотической формулы в неопубликованных записках Б. Римана. Утверждение о том, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей £(s), было доказано Г. Харди в 1914 г. (см. [3]). Г. Харди и Д. Литтлвуд в 1921 г. доказали, что если U = Та, а > то на промежутке (Т, Т + U) содержится не меньше, чем cU нулей нечетного порядка функции £ Q + zt), с — с(а) > 0, Т > Ti(a) (см. [4]). При доказательстве они использовали прием "улавливания" точек перемены знака вещественной функции, восходящий к Э. Ландау (см. [5, стр. 78—85]). Он заключается в следующем: если для вещественной гладкой (и нигде не плоской) функции f(t), для некоторых чисел и и h, h > 0, выполняется неравенство

I f(t)dt>

а интеграл f е~7ГХ dx сходится. Поэтому о
jJil < (372) Пусть °сть интеграл от функции f(z) вдоль той части кривой /4, у которой 0 < х < щ. Из равенства (32) получим, что
|j | / (Д2 + fo.~ 2 1 + ?r/2)TOe-tarctgB-
11 7 I ßlnix £>—2тт(щ —x)

< (r7i)ff"1lnm(3r?i) J e“tarctgT-2e-2vx2dx.

Интеграл в правой части был оценен при рассмотрении /2 как 0(1). Тем самым,
|J2| < Т+®.
Пусть теперь J3 есть интеграл от функции f(z) вдоль полупрямой {z — х + i(r/1 — х), х < 0}. В силу равенства (32) получим оценку
О /
|J3| <С I (х2 + (х — г/1)2))п(ж + г(—х + 77!))|те Ч5+drctg-*+41)ех(т-*)х
е-тг(т-х)

|g27rixg-27r(—х+771)

< I (+ + (T + r7i)2)2(ln(-2T) + 37r/4)me-+arCtg-2ie-27rx;r_

Так как arctg221 > 0 при х < —771, то из неравенства (29) следует, что
+00 +оо
ш <С / (2т)<т"1(1п &x)me~'Kx2dx < / < е-1 < Т-1/2 < Т.
Vi Vi
Осталось оценить интеграл от функции f(z) вдоль полуокружности {z = 7] -f- —тг < < 0}. Обозначим его через J4. Записав функции Rez и