Примитивные параболические подстановочные представления конечных исключительных групп лиевского типа

• Автор: Кораблева, Вера Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 132 с.

Оглавление
Введение
1 Исключительные группы Шевалле нормального типа
1.1 Алгебры Ли. Картановское разложение. Корни простых алгебр Ли
1.2 Базис Шевалле. Определение групп Шевалле
1.3 Двойные смежные классы
1.4 Группа F4:(q)
1.4.1 Представление на смежных классах по Р2
1.4.2 Представление на смежных классах по Рз
1.5 Группа Р’в)
1.5.1 Представление на смежных классах по Р2
1.5.2 Представление на смежных классах по Рз
1.5.3 Представление на смежных классах по Р4
1.6 Группа £У(?)
1.6.1 Представление на смежных классах по Рх
1.6.2 Представление на смежных классах по Р2
1.6.3 Представление на смежных классах по Рз
1.6.4 Представление на смежных классах по Р4
1.6.5 Представление на смежных классах по Р5
1.6.6 Представление на смежных классах по Ре
1.7 Группа Е8(д)
1.7.1 Представление на смежных классах по Рх
1.7.2 Представление на смежных классах по Р2
1.7.3 Представление на смежных классах по Рз
1.7.4 Представление на смежных классах по Р4
1.7.5 Представление на смежных классах по Р5
1.7.6 Представление на смежных классах по Р6
1.7.7 Представление на смежных классах по Р7
2 Исключительные группы Шевалле скрученного типа
2.1 Определение скрученных групп
2.2 Группа 2Р4(?)
2.3 Группа 3В4(д3)
2.4 Группа 2Е6(д2)

Библиография
Приложение
по Р_%
по Рз1
ПО Р41

Введение
После анонсирования завершения классификации конечных простых групп (ККПГ) особенно актуальными становятся исследования их подгрупп и представлений (подстановочных и линейных). М. Ашбахером [9] намечена базирующаяся на ККПГ программа описания примитивных подстановочных представлений конечных простых групп. Основной массив конечных простых групп составляют группы Шевалле (группы нормального или скрученного лиевского типа), которые подразделяются также на классические группы, имеющие естественные представления группами проективных преобразований векторных пространств над конечными полями, и исключительные группы. К настоящему времени получен (при помощи ККПГ или без нее) ряд крупных общих результатов о подстановочных представлениях конечных групп лиевского типа (см. § 6 из [6]): описание флаг-транзитивных представлений [25], классификация 2-транзитивных [13] и ранга 3 подстановочных представлений [19] и [16], классификация примитивных представлений нечетной степени [18] и [15].
Особо отметим завершение классификации точных подстановочных представлений минимальной степени для конечных простых групп лиевского типа в работах Б. Куперстейна [12], М. Либека и Я. Саксла [20], Б. Клейдмана и М. Либека [17], В.Д. Мазурова [7], В.Д. Мазурова и A.B. Васильева [5], A.B. Васильева [2], [3], [4].
В приложениях часто нужно знать подстановочное представление более детально. Достаточно полную информацию о подстановочном представлении дают следующие параметры: степень, ранг, подстепени, строение стабилизатора точки и двойных стабилизаторов. В упомянутых выше работах В.Д. Мазурова и A.B. Васильева эти паг раметры изучены для точных подстановочных представлений минимальной степени всех конечных простых групп лиевского типа.
Важный класс подстановочных представлений конечных групп лиевского типа составляют их параболические представления, то есть представления на смежных классах по параболическим подгруппам. Для этого есть несколько причин. Во-первых, параболические представления часто возникали в упомянутых выше исследованиях, в частности, подстановочные представления минимальной степени как правило параболические. Во-вторых, как заметил Г. Зейц (см. §6 из [6]), примитивные представления фиксированного ранга конечной группы лиевского типа над достаточно большими полями являются параболическими. В-третьих, существует тесная связь между параболическими представлениями группы лиевского типа и ее действием на своем билдинге (см. [27]).
Целью диссертационной работы является доказательство следующей теоремы:

(1,2,11,46, 9,47,25,26,35,22,33,23)(3,43,13,30,10,15,27,19,37,6,34,39)
(4,21,12,17,8,31,28,45,36,41,32,7)(5,14,40,42,44,48,29,38,16,18,20,24).
Тогда
и3ПРз10 = {Х(ге {8,11,12,14,15,17,18,20,21,24}), и п РГ = (Н,х2, Хх,ХиХь Хв) = £з П Р”,
М10 = Р3П р.= (Я3 П Р%") : (Р3 П Р3210).
Из соотношений (3) и (4) следует, что подгруппа Я3 П Р310 изоморфна р8 -р*8 хра при р 2 и 2* 248 х 25* при р = 2.
Вычисляем Ши = |Р3: Гю| — ю-
Рассмотрим элемент 2ц = [3,2,1,4,3,2,1,3,2,4,3] из ТИ, который действует на корнях следующим образом:
(2,23) (3,45) (5,24) (7,43)(9,42) (11,40)(13,39)(15,37)(16,35)(18,33)
(19,31)(21,27) (22,46)(26,47) (29,48).
Тогда
и3 П Р3ги = (Х< | * <= {6,8,10,12,14,17,20,23,24}),
РзПРз*11 = (Я,Х1,Х25)Х4,Х28)Х2)Х5) *13ПР*6,
Мп = Р3 П Р3211 = {и3 П Р3211): (Р3 п Р3*п)-
Из соотношений (3) и (4) следует, что подгруппа Л3 П Р3И изоморфна р3а р4а х р2я при р ф 2 и 2е 24а х 24а при р = 2.
Вычисляем ГПц = |Р3 : Мц
Рассмотрим элемент 2:12 = [3,2,1,3,4,3,2,1,3,2,4,3] из Ш, который действует на корнях следующим образом:
(1,14) (2,18) (3,45) (4,10)(5,24)(6,30)(7,39)(9,47)(11,40)(12,17)(13,43)(15,31)
(16,35)(19,37)(21,27)(22,46)(23,33) (25,38) (26,42) (28,34) (29,48) (36,41).
Тогда
и3 П Р3212 = (Х{ | г е {8,10,12,14,17,18,20,24}),
Р3 п Р3212 = (Я, ХиХ2, Х4,Х5) = Р3 п Р3*3,
М2 = Рз П РГ = (Я3 П Р3212) : (Рз П Р212).
Из соотношений (3) и (4) следует, что подгруппа II3 П Р312 изоморфна рЪз р5в при р2и 22)-24зх 22а при р = 2.
Вычисляем т.12 = |Рз : М42 = П12.
Рассмотрим элемент 213 — [3,2,1,3,2,3,4,3,2,1,3,2,3] из Ж, который действует на корнях следующим образом: