Периодические линейные полугруппы

• Автор: Коряков, Игорь Олегович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 139 c. : ил

ГЛАВА I. Предварительные сведения и факты

§ I. Двойственность в линейных полугруппах

§ 2. Полугруппы с центральными идемпотентами

§ 3. Многообразия идемпотентных полугрупп

ГЛАВА 2. Линейные полугруппы идемпотентов

§ I. Общее строение идемпотентных линейных полугрупп

§ 2. Медиальные идемпотентные полугруппы матриц

§ 3. Полугруппы, не принадлежащие данному неразложимому

многообразию

§ 4. Полугруппы, порождающие неразложимые многообразия

§ 5. Линейные ранги многообразий идемпотентных полугрупп

§ 6. Базисные ранги многообразий идемпотентных полугрупп
ГЛАВА 3. Периодические полугруппы матриц 2-го порядка
§ I. Основные определения и результаты
§ 2. Клиффорд о вы полугруппы
§ 3. Полугруппы необратимых матриц
§ 4. Доказательство теорем 1.1 и 1.2
§ 5. Рисовские представления и стандартные группы
ЛИТЕРАТУРА

1°. Общие замечания
Полугруппы матриц образуют естественный и важный класс алгебраических систем наряду с матричными группами, кольцами, алгебрами. С другой стороны, периодические полугруппы составляют один из важнейших абстрактных классов полугрупп. Пересечение этих двух классов и составляет предмет исследований в данной диссертации.
После основополагающих работ А.К.Сушкевича [18] Д193 и А.Клиффорда [25] , описавших представления вполне 0-простой полугруппы, исходя из представлений ее структурной группы, теория линейных представлений полугрупп была продвинута многими авторами, в числе которых Г.Престон, Д.Манн, И.С.Понизовский,' Д.Макалистер /50 - 60 -е годы/, Д.К.Фаддеев, Б.М.ЕДигарян /70-е годы/. Ряд работ был посвящен вопросам строения собственно матричных полугрупп. На этой теме, в рамках которой выполнялась диссертационная работа, мы остановимся подробнее.
Проблематика, касающаяся матричных полугрупп, в принципе аналогична проблематике, связанной с другими матричными алгебраическими системами. Если оставить в стороне теорию представлений и, ограничиваясь чисто алгебраическими аспектами, отвлечься от топологии, то можно грубо указать два основных типа задач о матричных системах, привлекающих внимание алгебраистов.
I. Задачи, связанные с исследованием строения полных матричных систем данной сигнатуры и некоторых их подсистем, выделяемых конкретными - зависящими от природы элементов - условиями. Таковы, например, исследования классических линейных групп, обзор

которых содержится в книге Ж.Дьедонне [ 5 ] . В теории полугрупп хорошо известна работа А.И.Мальцева [12] , где описаны все конгруэнции на полугруппе матриц ограниченного ранга. Сюда же можно отнестш работу Л.М.Глускина [ А ] , в<которой полная линейная полугруппа характеризуется с точностью до изоморфизма наличием плотно вложенного идеала, изоморфного полугруппе всех матриц не более чем единичного ранга, причем последняя полугруппа, будучи вполне 0-простой, также имеет абстрактное описание. Из недавних работ отметим ряд статей М.Путчи /см. обзор [32] /, посвященных линейным алгебраическим полугруппам.
2. Второй тип задач связан с изучением матричных систем, удовлетворяющих каким-либо абстрактным условиям. Термин "абстрактные" имеет стандартный смысл: рассматриваются матричные системы, принадлежащие фиксированному классу алгебраических систем, замкнутому относительно изоморфных образов. В теории групп задачи этого типа имеют столь же давнюю историю, что и задачи первого типа: еще К.Жордан и Ф.Клейн описывали конечные матричные группы малых размерностей; ныне это описание продвинуто до матричных групп порядка 10 /см.С 6 ]/. Интенсивно изучались и изучаются периодические, разрешимые, нильпотентные, локально нильпотентные группы матриц; соответствующие результаты можно найти в книге Д.А.Супруненко [15] . К этому же направлению относятся исследования коммутативных матричных групп и алгебр [н] . В теории полугрупп можно отметить работы Л. Б. Шнеперлана [21] и[25] , где описываются максимальные инверсные и, соответственно, периодические инверсные полугруппы матриц.
Фактически единственным общим результатом о периодических матричных полугруппах является доказанная в 1975 г. независимо

на, и пользуясь определением (i) и формулой (3) из §1 гл.1, получим:
dim (Сот^Г) ~ cocUm (Кег1Г) = С о dim (1т ГТ" dim а» г),
откуда и вытекает равенство i).
Пусть выполняются условия пункта 2). Тогда U 4 Kt*c Р . Включим вектор U = Uj в некоторый базис произвольного прямого дополнения L подпространства ■ КегГ . Этот базис состоит из t - tk Р векторов Uj ,. Покажем, что
К+ % - L векторов U( cij их , Uz , Къ о(у , ..., Uxdj линейно независимы. Поскольку все эти векторы принадлежат подпространству Im Р , получим dim (Jhi Р)
> К + t - У , откуда Pirn Р ^ К . Итак, допустим, что выписанные векторы линейно зависимы:
Aj -f Аа( ^ Jbz ^2~f~... + /4%, dj —Of (i)
где Ai fix, - элементы основного тела.
Применим к обеим частям равенства (I) эндоморфизм cLx :
((Aj j- Afc) -f ftz ^z l^x. ) dj = 0.
Вектор, на который действует в этом равенстве, принадлежит L пКыР, т.е. нулевой. Так как Ых , образуя базис в /j , линейно независимы, все коэффициенты должны быть равны нулю. В частности, учг = ... = 0 , т.е. в левой
части равенства (i) находится лишь линейная комбинация векторов Z/j c(i , которые линейно независимы по условию, откуда = ... = А* = О. Утверждение 2) доказано.
Докажем 3). Пусть, например, Р - левосингулярная полугруппа. Если /7 - максимальная левосингулярная подполугруппа из Л,
содержащая Г , то Д = /7-4 и, следовательно, Kct
= Кег Г, Я КчхГ . Но так как jQtm г= £/ , имеем: