О распределении значений сумм арифметических функций

• Автор: Бояринов, Роман Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
I О числе решений диофантовых уравнений с целозначной функцией показательного роста

§1 Об одном классе аддитивных диофантовых уравнений

1.1.1 Оценка числа решений уравнения N = тіРХі +...+ ткРХк для лакунарной последовательности натуральных чисел

1.1.2 Многомерный аналог

§ 2 Асимптотика числа решений диофантовых уравнений

1.2.1 Об одном симметричном уравнении

1.2.2 Асимптотика числа решений аддитивного диофан-това уравнения с фиксированными кратностями слагаемых
1.2.3 Асимптотика числа решений аддитивного диофан-това уравнения с растущими кратностями слагаемых

§ 3 Асимптотика числа решений аддитивного диофантова

уравнения в многомерном случае
II О распределении значений арифметических сумм
§ 1 Центральная предельная теорема для распределения значений тригонометрической суммы с функцией показательного роста в экспоненте
§ 2 Теорема типа Форте —■ Каца для распределения значений
сумм на последовательности показательного роста
2.2.1 Вычисление моментов
2.2.2 Вычисление дисперсий
2.2.3 О скорости сходимости к предельному
распределению
III О некоторых метрических теоремах
§ 1 Обобщение теоремы Форте — Каца
3.1.1 Вычисление моментов и дисперсий
3.1.2 Сходимость к предельному нормальному распределению
§ 2 Об одной аддитивной задаче с растущим числом слагаемых
3.2.1 Оценка одной тригонометрической суммы
3.2.2 Вывод асимптотической формулы
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом этой теории является изучение поведения арифметических функций. Сами арифметические функции могут вести себя весьма нерегулярно, например, функция числа делителей натурального числа бесконечно часто принимают малые значения, когда ее аргумент равен простому числу, и принимает большие значения, когда натуральные числа составлены из большого числа простых делителей. Гаусс и Дирихле первыми исследовали среднее значение таких функций. Но первые результаты, использующие вероятностное истолкование поведения функции числа различных простых делителей натурального числа были получены Г. Харди, С. Рамануджаном [7] в 1917 г.
В дальнейшем доказательство их утверждения было упрощено и обобщено П. Турином [8] и Й. П. Кубилюсом [13] — [15]. Эти работы открыли новую область исследований в теории чисел — вероятностную теорию чисел. Отметим, что в основе исследований распределения значений сумм арифметических функций лежат методы теории вероятностей: метод моментов, метод характеристических функций и теория интегралов и рядов Фурье.
Важный вклад в данную область исследований внесли следующие математики: Г. Харди, С. Рамануджан, П. Туран,
П. Эрдёш, Г. Давенпорт, Р. О. Кузьмин, Ю. В. Линник,
Й. П. Кубилюс, А. Винтнер, Э. Вирзинг, Г. Деланж, А. Ре-ньи, Г. Халаш, И. Катай, Р. Форте, М. Кац, А. Г. Постников, М. П. Минеев, Б. В. Левин, Н. М. Тимофеев, А. С. Файнлейб,
В. Н. Чубариков и другие.
Первые результаты о распределении значений сумм ариф-
Глава 2 О распределении значений арифметических сумм
В настоящей главе мы доказываем теоремы о распределении значений тригонометрических сумм с функцией показательного роста в экспоненте, центральную предельную теорему типа Форте — Каца, обобщающую соответствующее утверждение А. Г. Постникова и М. П. Минеева на более широкий класс функций. В основе доказательства этих утверждений лежит метод моментов А. А. Маркова, теорема Фреше — Шохата, условие Карлемана о восстановлении по моментам случайной величины ее функции распределения и формула обращения Эссеена.
§ 1. Центральная предельная теорема для распределения значений тригонометрической суммы с функцией показательного роста в экспоненте
Сначала приведем утверждения теоремы Фреше — Шохата ([25]), используемые нами в дальнейшем.
Теорема 5. (Фреше — Шохата) Пусть дана последовательность функций распределения |Кп(ж)} (п — 1, 2,...) со сле-