Кольца Кокса аффинных многообразий

• Автор: Гайфуллин, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с.

Оглавление
Введение

1 Кольца Кокса аффинных многообразий и их свойства

1.1 Определение кольца Кокса алгебраического многообразия

1.2 Алгебраические свойства колец Кокса

1.3 Кольца Кокса торических многообразий

1.4 Универсальное свойство теории дивизоров для полугрупп

1.5 Универсальное свойство реализации Кокса аффинного многообразия

2 Торические аффинные 8Ь(2)-вложения

2.1 Теория аффинных 8Ь(2)-вложений

2.2 Поднятие действия группы на кольцо Кокса

2.3 Трехмерные торические многообразий с локально транзитивным ЗЬ(2)-действием
2.4 Конуса аффинных торических ЗЬ(2)/йг-вложений
3 Автоморфизмы аффинных торических многообразий
3.1 Ручные и дикие автоморфизмы аффинного пространства и
торических аффинных многообразий

3.2 Дикий автоморфизм трёхмерного аффинного квадратичного конуса
3.3 Дикий автоморфизм многообразия ЭЬ(2)
4 Однородные торические многообразия
4.1 Эквивалентные условия однородности нормального многообразия в терминах реализации Кокса
4.2 Классификация однородных торических многообразий полу-простой группы
4.3 Свойства однородных торических многообразий
4.4 Обобщение на случай редуктивной группы
Публикации по теме диссертации
Литература

Введение
О теме диссертации
Диссертация посвящена решению ряда актуальных задач теории алгебраических групп преобразований и аффинной алгебраической геометрии. Основными инструментами исследования является недавно определённый инвариант алгебраического многообразия, называемый тотальным координатным кольцом, или кольцом Кокса, а также связанная с этим инвариантом каноническая фактор-реализация многообразия. Идея диссертации состоит в применении техники колец Кокса к аффинным алгебраическим многообразиям.
Одно из важнейших свойств конструкции Кокса заключается в том, что кольцо Кокса торического многообразия, то есть многообразия с локально транзитивным действием алгебраического тора, является алгеброй многочленов. Это даёт возможность использовать эту конструкцию для решения задачи характеризации торических многообразий в некотором классе многообразий. В диссертации это соображение применено для описания трёхмерных торических аффинных многообразий с локально транзитивным действием группы ЭЦ2) и торических однородных пространств ре-дуктивных алгебраических групп. Центральной идеей является поднятие

Итак, 71К',(Х) = ПК(Х). С другой стороны, ИК{Х) = ПКДХ). Следовательно, С1(Х)-градуированные алгебры 7Ък',ф(Х) и 7Zк, Предложение 2 показывает, что кольцо ПкДХ) не зависит от выбора решётки К и гомоморфизма Таким образом, определено кольцо 'П(Х) = НкДХ). Оно градуировано группой С1(А) и называется кольцом Кокса многообразия X.
Замечание 1. В случае свободной группы классов многообразия X кольцо Кокса было определено ранее как алгебра 71к(Х) для подрешётки К С БАрб), изоморфно проектирующейся на С1(А). Алгебра Пк(Х), очевидно, есть частный случай алгебры ПкДХ). Таким образом два определения дают одну и ту же алгебру П(Х).
1.2 Алгебраические свойства колец Кокса
Более подробное изложение материала этого раздела, а также доказательства приводимых здесь утверждений можно найти, например, в обзоре [19].
Определение 3. Открытое подмножество У С X называется большим, если сос1ш1х(Х У) > 2.
Предложение 3. Пусть У — большое открытое подмножество многообразия, X. Тогда Н(Х) = 7£(У).
Доказательство. Существует изоморфизм
£: т у(Х) -> БА(У), ЛнИПУ.