Комплекс Шафаревича и его применения

• Автор: Голод, Евгений Соломонович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с.

1 Комплекс Шафаревича свободной ассоциативной алгебры и его применение к некоторым проблемам бернсай-довского типа
1.1 Комплекс Шафаревича
1.2 Применения к некоторым проблемам бернсайдовского типа
2 Стандартные базисы и гомологии комплекса Шафаревича
2.1 Стандартные базисы идеалов в фильтрованных алгебрах
2.2 Критерий стандартности базиса
2.3 Вычисление первого модуля гомологий комплекса Шафаревича для фильтрованных алгебр
2.4 Алгебра гомологий комплекса Шафаревича свободной алгебры
3 Гомологическая характеризация некоммутативных полных пересечений
3.1 Некоммутативная конструкция Тейта
3.2 Сильно свободные множества
3.3 Некоммутативные полные пересечения
Цитированная литература

Под комплексом Шафаревича понимается комплекс, построенный И.Р. Шафаревичем в 1963г. [42]. Этот комплекс является некоторой аппроксимацией к резольвенте двустороннего идеала в ассоциативной алгебре и представляет собой некоммутативный аналог имеющего многочисленные приложения комплекса Козюля для коммутативных колец. Напомним сначала определение комплекса Козюля [4]. Пусть Я — коммутативная алгебра над некоторым коммутативным кольцом к (все кольца и алгебры, если не оговорено противное, обладают единицей), и пусть в Я задано семейство элементов х = {ж,}. Пусть Е — свободный к-модуль с базисом е = {е,,}, элементы которого находятся в биективном соответствии с элементами семейства х. Тогда комплекс Козюля К(х, Я) = © Кр(х, Я) как градуированная к-алгебра есть тензорное про-

изведение (над к) Я®А{Е) алгебры Я и внешней алгебры А(Е) к-модуля Е. Однородные компоненты Кр(х, Я) = Я® АР(Е) являются свободными Д-модулями с базисом {е^ А ... А е]р}, и на базисных элементах дифференциал в К(х, Я) задается по формуле

А ... А еи) — ^^( —1) 1 А ... А ё^к А ... А е^р.

Можно проверить, ЧТО <Р — 0.
Разумеется, мы приходим к тому же самому комплексу, полагая к = Я (так это обычно и делается). Однако, при рассмотрении градуированной алгебры Я удобно считать, что ее однородные компоненты являются модулями над некоторым основным кольцом к, чаще всего, полем; кроме того, рассмотрение Я как к-алгебры делает более прозрачной аналогию с некоммутативным случаем. Если I обозначает идеал, порожденный семейством х, то легко видеть, что Д-модули гомологий

Нр(К(х, Я)) комплекса К(х,ІЇ) анну.іирукпч я идеалом / и гем самым являются модулями над алгеброй 1 - И/1: в частное: и. //„( К [г . Н)) канонически отождествляется с
Перейдем теперь к некоммутативному случаю. Пусть Я а<<<»
циативная алгебра над коммутативным кольцом к и / - {/,} не
которое семейство элементов в Д. Пусть Г свободный к МОДУЛЬ с базисом и = {«;}, элементы которого находятся в биективном соответствии с элементами семейства /. Тогда комплекс Шафаревича 5Л(/, Я) = Я) [42] (обозначение было предложено в [45]) как

градуированная к-алгебра есть свободное произведение (над к) Я*Т(£/) алгебры Д и тензорной алгебры Т(1!) к-модуля II. Таким образом,
5/ір(/, Я) = у4®£/®А®...®£/®Л,
где число множителей и равно р (тензорнре произведение над к). Дифференциал в 5/г(/, Я) задается по формуле:
й(ап ® и}1 ® аі ® ... ® ® ар) =

= ^(-І)*-1^ ® Уд ® ... ® ® ак-іікак ® иік+1 ® ... ® щр ® ар.
к=і
Легко проверяется, что сР — 0. Как и в случае комплекса Козюля, идеал I (двусторонний), порожденный семейством /, аннулирует Д-Я-бимодули гомологий комплекса 57і(/, Я), которые мы будем обозначать через Яр(/, Я); Яо(/> Я) канонически отождествляется с к-алгеброй Я//.
Комплекс 8Іг(ї,ІЇ) был введен И.Р. Шафаревичем в применении к случаю, когда Я — свободная ассециативная алгебра над полем к с множеством свободных порождающих х = {хД, для доказательства того, что алгебра А — Я/І бесконечномерна, если число соотношений {/)•} в некотором смысле мало по сравнению с числом ее порождающих {х,-} (х обозначает образ элемента х Є Я в Я//).
В §1 главы I диссертации рассматривается свободная ассоциативная алгебра (с единицей) Я над полем к с множеством свободных порождаю-

щих х = {хД, которую наделяем градуировкой Я = ф Я;, предписывая

каждому Хі некоторую положительную целую степень П{. Семейство / состоит из однородных элементов (форм) /, положительной степени

Глава
Гомологическая характеризация некоммутативных полных пересечений.
3.1 Некоммутативная конструкция Тейта.
В этом параграфе конструкция комплекса Шафаревича распространяется на более общую ситуацию, когда исходная ассоциативная алгебра является дифференциальной градуированной алгеброй.
Под алгеброй в дальнейшем понимается ассоциативная алгебра с единицей над некоторым коммутативным кольцом к (как правило, предполагается, что к — поле), наделенная №-градуировкой для некоторого в > 1; эта градуировка или некоторые из индуцированных ею 1Ч-градуировок могут быть тривиальными (т.е. сосредоточенными в степени 0). Под однородными элементами положительной степени понимаются элементы алгебры, однордные относительно Т^-градуировки и имеющие положительную степень относительно хотя бы одной из индуцированных ^градуировок. Под дифференциальной градуированной (д.г.) алгеброй (Л,с1) понимается алгебра А, наделенная дифференциалом с! (возможно нулевым), имеющим степень —1 относительно одной из 1Ч-градуировок (которая называется гомологической) и степень 0 отно-