Теоретико-модельные свойства группоидов с условиями абелевости и нормальности

• Автор: Трикашная, Наталия Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 69 с.

Содержание
Введение
1 Предварительные сведения
1.1 Сведения из универсальной алгебры
1.2 Сведения из теории моделей
2 Группоиды с абелевыми и гамильтоновыми теориями
2.1 Абелевы и гамильтоновы группоиды с единицей и квазигруппы
2.2 Абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы полугруппы
3 Абелевы и гамильтоновы многообразия группоидов
3.1 Абелевы и гамильтоновы многообразия полугрупп
3.2 Абелевы и гамильтоновы многообразия группоидов с единицей
и квазигрупп
4 Группоиды с примитивно нормальными и аддитивными теориями
4.1 Полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями
4.2 Группоиды с единицей и квазигруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями
Литература
Введение

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются группоиды, а именно, полугруппы, группоиды с единицей и квазигруппы. С помощью современного арсенала теории моделей и методов универсальной алгебры изучаются такие свойства этих группоидов, как абелевость, гамильтоновость, примитивная нормальность и аддитивность.
Понятие абелевости для алгебр было введено R. McKenzie [30] как обобщение понятия абелевой группы. Легко понять, что группа является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна. Также нетрудно показать, что унарные алгебры и модули являются абелевыми алгебрами. Абелевы алгебры изучались в работах H. Werner, W. Lampe, D. Hobby, R. McKenzie, M. Valeriot, R. Freese, C. Herrman, J. Shapiro и др. (см.[47, 29, 18, 19, 40, 21, 24, 37]). Абелевы алгебры сыграли важную роль в развитии теории коммутаторов [21], в исследованиях, связанных с функционально полными алгебрами [47]. Абелевы группоиды исследовались в работах W. Taylor, R. McKenzie, R. Warne, E.В. Овчинниковой (см. [39, 31, 43, 44, 45, 6]). В [6] Е.В. Овчинниковой приводится описание абелевых группоидов (А,-), для которых |А-А|<3. В [31] R. McKenzie дается характеризация конечных абелевых полугрупп. R. Warne в [43, 44] приводит полное описание структуры абелевых полугрупп, в частности, описывает полупростые, квазирегулярные, периодические абелевы полугруппы.
Понятие сильной абелевости появилось в работе R. McKenzie [32] при
описании конечных алгебр с определенным типом решеткок конгруэнций. Примером сильно абелевых алгебр являются унарные алгебры. Результаты R. McKenzie, связанные с понятиями абелевой и сильно абелевой алгебры, явились толчком для развития теории ручных конгруэнций, являющейся основным инструментом исследования конечных алгебр.
Понятие гамильтоновости для алгебр было введено В. Csakany [20] и К. Shoda [38]. Оно является обобщением понятия гамильтоновой группы. Гамильтоновы алгебры изучались в работах R. McKenzie, Е. Kiss, М. Valeri-ote, J. Garcia (см.[26, 27, 33, 22]). В работе [26] Е. Kiss и М. Valeriote показали, что если декартов квадрат алгебры гамильтонов, то сама алгебра абелева.
В данной работе описаны абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы конечные квазигруппы и группоиды с единицей. Охарактеризованы абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов, сильно абелевы полугруппы и гамильтоновы полугруппы с условием абелевости.
Абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия алгебр изучались в работах таких математиков, как D. Hobby, R. McKenzie, Е. Kiss, М. Valeriot, L. Klukovits (см.[18, 33, 35, 34, 25, 26, 27, 42, 23, 28]). В [27] Е. Kiss и М. Valeriot показали, что если конечная алгебра порождает сильно абелевое многообразие, то она гамильтонова. В [26] эти же авторы доказали, что если многообразие гамильтоново, то оно абелево. В [40] М. Valeriot показал, что если конечная простая алгебра абелева, то она гамильтонова. В [26] Е. Kiss и VI. Valeriot показали, что для локально конечного многообразия свойства абелевости и гамильтоновости эквивалентны.

2.2 Абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы полугруппы
В этом параграфе изучаются абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов. Также изучаются сильно абелевы и гамильтоновы полугруппы.
Для полугруппы (А, ) определим отношение эквивалентности на множестве А:
ааЬ <=> Уж е А(ах = Ьх и ха = хЬ)
для любых а,6 £ А.
Замечание 2.12. Полугруппа (А,-) является раздуванием полугруппы (В,-) тогда и только тогда, когда для любого а € А существует Ь (Е В такой, что а а Ъ.
Лемма 2.13. Если полугруппа {А, ) является раздуванием прямоугольной связки {Т, ) абелевых групп, то Т — А - А.
Доказательство. Пусть (А, ) - раздувание прямоугольной связки {Т, ) абелевых групп. Ясно, что Т С А-А. Если а-а £ А-А, то по определению раздувания полугруппы существуют х,у £ Т такие, что хаа и уаа2, т.е. ах а<2 = х у Е Т и А А С Т. □
Пусть (А, ) - полугруппа. Если © - отношение эквивалентности на А и а 6 А-А, то через 0а обозначим множество (а/0) (Д(А-А), где а/0 - класс