Кольца квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3

• Автор: Чередникова, Алла Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Обозначения и некоторые определения
Глава Т. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых почти
вполне разложимых групп без кручения ранга
§ 1. Предварительные сведения
§ 2. Матричное представление колец квазиэндоморфизмов
вполне разложимых групп без кручения ранга
§ 3. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых почти вполне
разложимых групп без кручения ранга
Глава ]1. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложимых
абелевых групп без кручения ранга
§ 1. Матричное представление колец квазиэндоморфизмов
квазиразложимых групп без кручения ранга
§2. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложимых групп
без кручения ранга
Глава Л. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых
абелевых груш без кручения ранга
§ 1. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3, совпадающих со
своими псевдоцоколями
§ 2. Матричное представление колец квазиэндоморфизмов
сильно неразложимых групп без кручения ранга
§ 3. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3, отличных от своих
псевдоцоколей
Список литературы

Введение
До 30-х родов фактически ничего не было известно об абелевых группах без кручения, исключая конечно порожденные группы. Работы Д.О.Понтрягина 1.121 , Р.Бэра [221 и описания абелевых групп без кручения конечного ранга, полученные в 30-х годах А.Г.Курошем [7, 81 , А.И.Мальцевым [103 и Д.Дэрри [271 , а также работы 1.Я.Куликова [5, 61 стали основой теории абелевых групп без кручения. В последние десятилетия о проникновением в теорию абелевых групп модульных, гомологических, топологических, теоретико-категорных и теоретико-множественных идей и методов стали интенсивно изучаться различные классы абелевых групп без кручения. Причем наибольшее число публикаций приходится на группы без кручения конечного ранга.
В 1976 г. А.В.Яковлев [ 203 показал, что задача классификации абелевых групп без кручения конечного ранга является "дикой*’ в том смысле, что она содержит в качестве подзадачи тестовую задачу о паре матриц. Это означает, что классификация абелевых групп без кручения конечного ранга очень сложна ж необозрима.
На пути решения проблемы классификации груш без кручения конечного ранга Б.Йонсон [281 в 1959 г. ввел понятия квази-изоморфизма и квазигомоморфизма. Так возникла категория квазигомоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга, объектами которой являются эти самые группы, а морфизмами -квазигомоморфизш. Б.Йонсон [281 доказал, что в этой категории любой объект однозначно раскладывается в прямую сумму неразложимых объектов, которые называются сильно неразложимыми
группами, то еоть в этой категории имеет место теорема Крулля-Ремака-Шмидта.
Чуть позже Р.Бьюмонт и Р.Пирс в совместной статье [23] , отказавшись от принципа классификации о точностью до изоморфизма в пользу принципа классификации с точностью до квазиизоморфизма дали удовлетворительное описание абелевых групп без кручения ранга 2 е точностью до квазжизоморфизма. Эта работа послужила началом серьезных исследований абелевых групп без кручения ранга 2.
Описание е точностью до квазиизоморфизма абелевых групп без кручения ранга 3 было получено A.A.Фоминым в 1989 г.[13]. Вскоре С14] удалось распространить этот результат на абелевы группы без кручения произвольного конечного ранга.
Одним из наиболее интересных направлений современных исследований в классе абелевых групп без кручения конечного ранга являются кольца квазиэндоморфизмов. Кольца квазиэндо-морфизмов были введены в рассмотрение в 1981 г. Бьюмонтом и Пирсом в совместной работе [23 3. В этой же работе Бьюмонтом и Пирсом указаны все алгебры над полем рациональных чисел, являющиеся алгебрами квазиэндоморфизмов групп без кручения ранга 2, а также поставлен вопрос, всегда ли существует группа без кручения е предписанным кольцом квазиэндоморфизмов. Корнер в [26] получил утвердительный ответ для рациональных алгебр конечной размерности, как простое следствие своих результатов. Бренер и Батлер [253 усилили это утверждение, доказав что в рассматриваемом случае эти группы вкладываются в качестве сервантных подгрупп во вполне разложимые группы
Отсюда по лемме

В этом случае, как следует из 121, теорема 3.3 3, множество типов группы Ь состоит из двух элементов. Допустим, что мы выбрали линейно независимые элементы £>а и группы Ь такие, что £(£>&) и образуют множество
типов группы Ь . Так как / (зг) = £а , имеем £(а)??£(Л Поэтому £ (£а) > £ (4х)» так как если бы £{£2) <44)» то Щ Нот [ к , М имел бы ранг 2, чего не должно быть. В этом случае равенства (1) леммы 1.1 примут следующий вид :
4(4 = £-((&-) -+ ЛГ& ч£<(гг),
4 С4 ) = ** £3 (4з)
Тогда по лемме
1 , 0 0 V
| а£ц
о-а * 4а 4з о1ц £ (Ц
0 0 иаг1 «

2.7.
Возьмем сильно неразложимую группу (Ь из [21, пример 2.4] . Для ЭТОГО выберем подгруппы Ь, И Ьэ группы