Базисные свойства функции Рамануджана

• Автор: Снурницын, Павел Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Оглавление
Обозначения
Введение
Глава 1. Функция Рамануджана и ее свойства
1.1 Пространство модулярных форм
1.2 Определение и основные свойства функции Рамануджана
1.3 Свойства множества значений функции Рамануджана
Глава 2. Асимптотические формулы и оценки в проблемах Варинга—Гольдбаха и Варинга
2.1 Круговой метод в проблемах Варинга-Гольдбаха и Варинга
2.2 Асимптотическая формула для точек первого класса и оценка тригонометрической суммы в проблеме Варинга-Гольдбаха
2.3 Асимптотическая формула для точек первого класса и оценка тригонометрической суммы в проблеме Варинга
Глава 3. Аддитивная задача с функцией Рамануджана
3.1 Разрешимость в проблеме Варинга-Гольдбаха специального
вида
3.2 Доказательство основной теоремы
Список литературы

Обозначения
Через N. 2, Е и С будем обозначать множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел, соответственно. Буквой р будем обозначать простые числа. Символ суммирования с переменной суммирования р (например, будет обозначать суммирование по простым числам (соот-
ветственно, не превосходящим ж). Через є обычно будем обозначать произвольное положительное вещественное число. В главе 2 через и будем обозначать постоянную рр
Символы о, О и символы Виноградова <С, используются в своем обычном смысле, а именно, записи Р = 0(С), С б, б > Р равносильны и означают, что |С?| СР для некоторой постоянной С. Запись Р ж Є означает, что одновременно Р <С О и О « Р. Запись Р ~ С означает, что Р = С + о(С?). В различных неравенствах типа Є СР постоянные С не обязательно совпадают.
Если ж Є Ж, то через [ж] будем обозначать целую часть числа ж, через {ж} - дробную часть числа ж, {ж} = ж — [ж]. Будем писать е(ж) = е2тх,
вд(х) = е(ж/ Запись рп || а означает, что рпа и рп+1 а, то есть рп — наибольшая степень р, делящая а.
Будем использовать стандартные обозначения для теоретико-числовых функций:
ір(п) — функция Эйлера, количество натуральных чисел, не превосхо-
дящих п и взаимно-простых с n;
orfc(n) = — сумма степеней делителей числа п;
т(п) — функция Рамануджана;
7г(п) — число простых чисел, не превосходящих п
тт(п, q, а) — число простых чисел, не превосходящих п прогрессии п = a (mod g);
Li х = г(1і — интегральный логарифм.
и лежащих в

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разобьем интеграл на сумму интегралов по отрезкам
ал(а,д)
ДМ) -ЕЕ/ 8(а)ге(-аМ)с1и.
Имеем
5 + -£Г(а,а,ду = в + /?) - £*(«, а, ?)
Из леммы 2.2.4 получаем, что каждое слагаемое во втором множителе правой части равенства оценивается величиной
—|/(г—1)+£
тіп(Р, |0|
по лемме 2.2.3 имеем
< Ре'"'71,
таким образом,
Р (- + /?) — Р*(а, а,
< Ре-с'/Ід-,/(г-1)+£тіп(Р, |0Г")Г-1. Интегрируя по интервалу 9Я(а, д)
а 1 а
Я дО’ д дв
, получаем
J 8{а)г е{—аМ)йсх — J 8*(а,а,д)ге(—аМ)сі(3
Ща,д)

Ща,д)
Ща,ч)
5( + 0) — в* (а, а, д)1

<1р < рг~пд-1)+єе-сІ
Таким образом, имеем формулу приближения для интеграла по интервалу