Средние значения тригонометрических сумм в кольце гауссовых чисел

• Автор: Сорокин, Павел Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Теорема о среднем И.М. Виноградова в кольце гауссовых чисел

§1. Вспомогательные утверждения

§2. Основное рекуррентное неравенство

§3. Формулировка и доказательство основной теоремы

Глава 2. Оценка тригонометрической суммы Г. Вейля по гауссовым

числам

§1. Некоторые свойства суммы Г. Вейля по гауссовым числам

§2. Лемма о пересечении областей

§3. Оценка тригонометрической суммы Г. Вейля

Список литературы

Введение
Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел. Первым стал рассматривать простейшие тригонометрические суммы Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя "суммы Гаусса":
Гаусс первый показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел, в частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.
В дальнейшем тригонометрические суммы, правда гораздо более общего вида, стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, т.е. возможно более точной верхней границы их модуля.
Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной тригонометрической суммы:
где ср{х) = апхп + .. + ах — многочлен степени п > 1с условием (ап,
Наилучшую оценку суммы (1) в общем случае дал Хуа Ло-кен. Он установил неравенство
Это неравенство замечательно тем, что при постоянном тг в смысле порядка

Введение

роста правой части с возрастанием Р оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим.
Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида
S = S(an
О <х.Р
где f(x) = апхп+.. ,+otiX, и ап
При оценке сумм Г. Вейля вводится величина J = J(P;n,k), которая является числом целочисленных решений следующей системы уравнений
Х + ... + хк = 2/1 + ... + Ук,
2 , ,2 2 , ! 2 х1 + ... + хк — у1 + ... + ук,
. *?+...+= »г + ...+»г,
где 1 < æs < Р, 1 < ys < Р, s = 1
Имеет место равенство
р 12 А:
e2,rî/(l) dcci... do::

J — J{P n, к) = Л.. [1
Jo Jo

Задача нахождения возможно более точной оценки сверху для J(P,n,k) играет важную роль в различных вопросах аналитической теории чисел ([6], [13], [18], [26], [39]).
Разработанный И.М. Виноградовым в тридцатых годах двадцатого века метод оценок тригонометрических сумм Г. Вейля опирался на оценку величин типа |5(ага
J (Р; п, к) — [ ...[ |5(о:п
Jo ./о
т.е. оценкой этой суммы "в среднем "по всем ац
Глава 1. Теорема о среднем И.М.Виноградова в кольце гауссовых чисел

Ju < (2(Ng)2 + 2(г + l)2) J (Ng)2(fc-r-xV!(Ng)(4Р)г.

J(Pi; n,k-r) 4’’+1r! (Ng)2-1"1PrJ{Px; n,k-r). Следовательно, получаем
4г+1г!г2 Ґ * Л (Ng)2(fc-r)+(2r“’‘)(2rP(Pi; n, А - г),
S=1 ' '
где g одно из gs,s = 1,
неравенства максимальна.
Оценим теперь J2, отвечающий наборам X Є В. Пусть qs одно из чисел
— —(я)

І ЛІ“11 < |д8|,г = 1
Ai = А (mod qi), Х = А (mod qr),

Хк = А (mod дД, Хк = А7) (mod qr).
По Китайской теореме об остатках данная система эквивалентна
следующей системе сравнений
Ai = Fi (mod gi .. gr),
Ak = Fk (mod gi..gr).
Согласно лемме 1.9 имеем |P,-| < |gi...gr|. Далее имеем цепочку
неравенств NAZ- < Р < Ngi... Ngr = N(gi... qr), т.е. |P{| < |gi . - gr|- Значит