Индикаторные характеризации некоторых свойств многообразий ассоциативных колен

• Автор: Пайсон, Ольга Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 98 с.

Содержание
Введение
1. Некоторые обобщения коммутативности
1. Почти энгелевы многообразия алгебр
2. Почти перестановочные многообразия,
не порождаемые конечной алгеброй
3. Кроссовы почти перестановочные многообразия.
Псевдомногообразие ф/!Т,
4. Индикаторные характеризации и алгоритмы
распознавания свойств энгелевости и перестановочности
2. Финитная отделимость
в многообразиях колец
5. Глобальная отделимость
6. Локальная отделимость
7. Следствия
8. Доказательство теоремы
3. Многообразия, все критические кольца
которых являются арифметическими
9. Доказательство теоремы
10. Эффективность теоремы
Литература

Введение
0.1. Индикаторные характеризации. Почти -многообразия
С развитием теории многообразий все чаще наряду с вопросом что изучать, стал подниматься и вопрос о том, как это делать. Осознание особой роли различного рода минимальных контрпримеров и сложности, стремительно нарастающие по мере углубления в “конкретные” многообразия, привели к новой концепции, образно и ёмко сформулированной в известном обзоре Ю. А. Бахтурина и А. Ю. Ольшанского “Тождества”:
“Картина безбрежного моря многообразий алгебр с отдельными островами важных примеров заставляет думать, что правильно поставленные задачи о свойствах многообразий и тождествах алгебр чаще должны вести к поиску многообразий и тождеств, экстремальных относительно естественных алгебраических свойств, нежели к описанию решеток всех подмногообразий.”
Поиск таких экстремальных многообразий и контрпримеров в свою очередь весьма часто приводит к появлению индикаторных характеризаций. Под индикаторной характеризацией многообразий, удовлетворяющих некоторому свойству в, мы, следуя Л. Н. Шеврину (см. §0 обзора [42]), понимаем утверждения типа:
Многообразие обладает свойством в тогда и только тогда, когда не содержит ни одной из алгебр1 ААг,
Конечно же, нас интересуют только нетривиальные описания подобного сорта. Естественно, например, стремиться к отысканию индикаторных характеризаций, в которых ни одна из “запрещенных” алгебр А] , А2,.. не может быть отброшена или заменена алгеброй меньшей мощности. Подобные характеризации будем называть .минимальными.
Плюсы индикаторных описаний ярко проявляются, например, при алгоритмическом подходе, влияние которого на теоретическую алгебру, и в частности, теорию многообразий, заметно возросло в последнее десятилетие (подробно об этом рассказывается в фундаментальном обзоре М. В. Сапира и О. Г. Харлампо-вич “Алгоритмические проблемы в многообразиях”, см. [45]). Алгоритмический подтекст заставляет интересоваться не только описаниями изучаемого свойства, но и возможностью эффективно проверять, удовлетворяет ли произвольное многообразие этому свойству.
Предположим, что для свойства в найдена минимальная индикаторная характеризация. Мы хотим построить алгоритм, который по произвольному многообразию Ш проверяет, удовлетворяет ли оно свойству в. (Для удобства много-
13десь и далее в тексте, чтобы избежать разночтений, слово “алгебра” употребляется в одном смысле — “ассоциативная алгебра над ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей” , а слово “кольцо” всегда означает “ассоциативное кольцо”. Тем не менее, большинство понятий и подходов, обсуждаемых во введении, естественным образом переносится на случай алгебр в самом широком смысле.

образия, обладающие свойством, будем называть 9-многообразиями, а не обладающие — не в-многообразиями.) Конечно, 93 должно быть задано эффективно. Возможны два основных способа такого эффективного задания:
1) 53 порождено конечной алгеброй Л;
2) 03 задается конечным набором тождеств £.
Легко видеть, что если 93 = чаг А (т.е. использован первый способ задания), достаточно проверить, лежат ли в 93 конечные запрещенные алгебры. При этом, поскольку каждые две различные запрещенные алгебры порождают различные многообразия (характеризация минимальна), а в 93 конечное число подмногообразий (см. [23]), то и проверять нужно лишь конечное число запрещенных алгебр. Какие именно, обычно нетрудно установить, используя характеристики А (порядок, экспоненту и т.д.). Ясно, что проверка, лежит ли в 93 конечное число конечных алгебр, может быть осуществлена эффективно.
Рассмотрим теперь задачу, когда проверяемые многообразия задаются вторым способом. В этом случае доказательство того, что 93 является #-многообразием, превращается в почти рутинное. Достаточно убедиться, что ни одна из алгебр А, А2, не удовлетворяет системе тождеств Е. Весьма часто (а точнее, нам не известен пример индикаторной характеризации, когда бы это было не так) подобная проверка осуществляется эффективно.
Отметим, что картина несколько меняется, если для 9 найдена не индикаторная, а скажем, эквационалъная характеризация, т.е. описание этого свойства на “языке тождеств”. В этом случае получение на основе характеризации требуемого алгоритма — задача, как правило, нетривиальная. Например, если проверяемое многообразие 93 задается конечным набором тождеств Е, то при построении алгоритма мы по сути сталкиваемся с проблемой разрешимости эквациональной теории многообразия 93. В случае ассоциативных колец эта проблема до сих пор открыта, т.е. неизвестно, существует или нет алгоритм, который по заданному многочлену / и конечной системе тождеств Е определяет, является ли тождество / = 0 следствием тождеств из Е.
Рассмотрим одну из наиболее естественных стратегий, приводящую к появлению индикаторных характеризаций. Она связана с поиском почти-9-многообразий. Многообразие 93 будем называть почти- в-многообразием, если оно само не удовлетворяет свойству в, в то время как любое его собственное подмногообразие этим свойством обладает. Другими словами, такие многообразие — в точности минимальные (относительно включения) элементы в множестве не- 9 -многообразий.
Пусть 9 — наследственное свойство, т.е. такое, что все подмногообразия любого -многообразия — также -многообразия. Тогда решетку всех многообразий можно изобразить следующим образом:

если g(z) £ Т(Ю), mo f(t[y,z]u,x) £ T(5J);
если f(u,x) T(53), mo [я, £ T(53) или g(z)t[x,y] £ T(5J);
Доказательство. Предположим, что /(ж) Т(53). Тогда по лемме 2.2 в 53 есть тождество вида
П n[0; — (}? (*
где /г(?) £ {/}т. Домножение в случае а) на ад xm слева, и на справа,
а в случае Ь) подстановка U Н> <,г, (г = 0,1
В случае с) тоже нужно воспользоваться леммой 2.2. Пусть, например, /(ж) 4- T(9J). Тогда 53 удовлетворяет тождеству (2.1). Домножим его справа на tg{z). Правая часть превратится в тождество, а левая после применения пунктов а) и Ь) примет желаемый вид [ж,ytg(z). Аналогично, если g(z) £ 7Y5J), то f(x)t[y,z] =0 — тождество 53. Если же одновременно и /(ж) 7(53), то взяв в последнем равенстве в качестве g(z) коммутатор [у,г], получим по уже доказанному [ж,ut[y,z] £ 7(53).
Докажем теперь последний пункт. Вообще говоря, и а), и Ь), и с) следуют из d), но нам удобнее иметь отдельные формулировки для этих свойств. Пусть g{z) Т(53). Обозначим через w(y) коммутаторный одночлен
У1---Ут[У0,УкУт+1
Тогда по лемме 2.2 для некоторых га, к имеем w(y) = 0( mod {д}Т + Т(53)). Следовательно, по условию f(w(y),x) = 0 (mod Т(53)). Применив пункт а) и Ь) к левой части сравнения, получим f(t[y,z]u, ж) £ Т(53). Если /(и, ж) <£ Т(53), то с помощью подстановки в (2.1) 1,- Н> уг'у(гг-) (г = 0,1
0 = [vyg(z),xg(t)] = v[yg(z),xg(t) + [v,xg{t)]yg(z) = [v,x g(t)}yg{z).
Теперь осталось повторить аналогичную процедуру с подстановкой ж Н- их и применить пункт с). Итак, лемма 2.3 доказана.
Внимательно посмотрев на пункты с) и d) только что доказанной леммы, можно прийти к выводу, что для многообразия 53 существует две возможности. Либо 53 обладает тождеством [ж ,u]t[y,z], либо тождества 53 достаточно специфичны, они не конструируются с помощью операций произведения и композиции из посторонних, не лежащих в Т(53), многочленов. В этом случае коммутаторный идеал алгебры, порождающей 53, обязан быть ненильпотентным.
Покажем, что последнее невозможно.