Методы и конструкции в теории ветвления

• Автор: Жуков, Игорь Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 227 с.

Оглавление
Введение

0.1 Изучаемые объекты

0.2 Постановка общей задачи

0.3 Существующие подходы

0.4 Основные результаты работы

Определения, обозначения, классические результаты

1 Полные дискретно нормированные поля с несовершенным полем

вычетов

1.1 Циклические расширения степени р

1.2 Основные определения и конструкции

1.3 Устранение высшего ветвления
1.4 О выборе подполя констант
1.5 Вложение полного дискретно нормированного поля в стандартное
1.6 Теория ветвления с индексным множеством I
1.7 Пример: абелевы расширения показателя р
2 Почти максимально разветвленные расширения
2.1 Некоторые вычисления в расширениях степени р
2.2 Независимо разветвленные расширения
2.3 Общие замечания о ПМР расширениях
2.4 Циклические ПМР расширения
2.5 Абелевы ПМР расширения, р — 1|е
2.6 Абелевы ПМР расширения, р—1е
2.7 Еще о композитах ПМР расширений
3 Высшие локальные поля
3.1 Основные определения
3.2 Классификационная теорема
3.3 Топология на аддитивной группе

3.4 Строение мультипликативной группы
4 Строение топологических К-групп для высших локальных полей
4.1 Основные определения
4.2 Структура VK%PK в равнохарактеристическом случае
4.3 Разнохарактеристический случай
4.4 Другие определения топологии и свойства отображения нормы на топологических К-группах
4.5 Строение VK-yK
4.6 Построение элементов кручения
4.7 О Zp-расширениях одномерного поля
4.8 Основные теоремы
4.9 Пример: QP{{t}} и Qp(Cj>){{0}
4.10 Абсолютно неразветвленный случай
5 Теория ветвления для двумерных локальных полей
5.1 Конструкция
5.2 Дополнительные сведения о топологических АГ-группах двумерных локальных полей
5.3 Подгруппы Sa в U(l)Kl°pK
5.4 Поведение Sa в некоторых типах расширений
5.5 Фильтрация на Kl°pK и отображение взаимности
6 Метод струй
6.1 Терминология и обозначения
6.2 Теоремы для расширений Артина-Шрейера
6.3 Доказательства
6.4 Постановка вопросов в общем случае
6.5 Дуги
6.6 Подъем дуг
6.7 Случай I ф р
6.8 Случай I
7 Метод пучков кривых
7.1 Определения, обозначения и предварительные сведения
7.2 Аналитическая формула присоединения
7.3 Ручная и дикая сингулярность
7.4 Расширения двумерных полных регулярных локальных колец
7.5 Формула Севери
7.6 Вычисление второго класса Чженя при помощи пучка кривых
7.7 Морфизмы поверхностей Список литературы
Фильтрация на К* в случае char К
В этом пункте char К = 0. Положим рк = {а € К | и(а) > р/{р — 1)}. Для неотрицательного целого т и рационального а такого, что 0 < а < — определим 5(т, а) как подгруппу в К, порожденную рк и всевозможными элементами вида ар'с, где г > 0, а € Uk, с 6 k, v(c) > max(m/e*, yf(y — рг+1а).
-2 V п, — 27 — "«у'-'* — p_j j”**1
Для некоторого целого i > 0 обозначим
1.2.10 Лемма. Пусть ai,a2 € UK, ci,c2 € k, v(ci) = w(c2) = m/e* > py — pt+1a;.
в == а? сх + а2 с2.
Зафиксируем с € к, гДс) = т/е*,. Тогда найдется такой а е Пк и {0}, что
а = ар'с тоё 5(то + 1, а).
Доказательство. Как в доказательстве леммы 1.2.8, возьмем тт, г2 € 13% такие, что < = Сх/с, < = с2/с.
Положим а = ахтт + а2г2- Тогда

* + а%*СГ2Р‘ + (fliri)’ а2Г2УР р' lpc modp2.
Имеем crvv% = Си mod 9ft*,, v ~ 1,2, откуда
s = af crxpl + af’cr2pl mod 5(m + 1, а).
Далее, при каждом у имеем (ахгх)-”’*”1 (a2r2)(p~p"1 рс € 5(m+1, а), поскольку v(pc) = 1 + т/е*, > (т+ l)/ejb, и v(pc) = 1 + т/е*, > 1 + у — рг+1а вместе с v(pc) > 1 влечет v(pc) > р(у — р_1+1а. Осталось заметить, что р2 € ртг С S(m + 1, а). □
1.2.10.1 Следствие. Имеем
5(пг, а) = | afCj I а£Ок I,
i*(j)

где i(j) = min{ г > 0 | m/efc > §у — р,+1а}, a Cj — некоторые фиксированные элементы к с %(сД = у.
Доказательство. Индукция по — т. □
Легко видеть, что 5(0, а) — подкольцо в Из леммы 1.2.10 вытекает, что все элементы и € 5(0, а) с и(ы) = 0 обратимы в 5(0, а).