Геометрические и вероятностные свойства сплетений групп

• Автор: Эршлер, Анна Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 66 с.

Содержание
1 Введение
1 Геометрия сплетений
2 Геометрические свойства конечно порожденных групп
3 Разрешимость и отсутствие кручения не являются геометрическими свойствами
II Вероятностные свойства сплетений групп
4 Основные понятия
5 Равенство нулю энтропии
6 Асимптотика сноса для Ъ Х/2Х
7 Асимптотика сноса для XI (XI... IX)
7.1 Вспомогательные утверждения о блуждании на прямой
7.2 Доказательство теоремы 7.
8 Дальнейшие примеры сноса
8.1 Вспомогательная лемма
8.2 Некоторые функционалы от двумерного случайного блуждания
8.3 Примеры сноса
8.4 Добавление. Доказательство вспомогательной леммы
9 Оценки энтропии

1 Введение
В этой работе мы рассматриваем счетные конечно порожденные группы. Мощным средством изучения таких групп является геометрическая теория групп. Выбор конечной системы образующих позволяет рассматривать группу как метрическое пространство и изучать геометрическими методами. Основы геометрической теории групп заложены в работах Громова ([18], [19], [20]), хотя предпосылки к ее возникновению появлялись значительно раньше (см. ссылки в [21]). Оказалось, что с помощью геометрического подхода можно решить некоторые старые чисто алгебраические, логические или комбинаторные задачи, связанные с теорией групп. Геометрический язык сделал возможным расширить классы исследуемых конечно порожденных групп. И, конечно, появилось много новых задач, связанных непосредственно с геометрией групп.
В первой части работы мы рассматриваем словарные метрики на сплетениях групп. Мы строим квазиизометрии (точнее, билиишицевы отображения) между некоторыми сплетениями групп. Оказывается, что такие сплетения не жестки, в том смысле, что алгебраическая структура групп не определяется однозначно их геометрией. Более того, в некоторых из этих примеров разрешимая группа может быть квазиизометрична не виртуально разрешимой группе. Также возможно, что группа без кручения может быть квазиизометрична группе, которая не является виртуально без кручения. Это доказывает, что ни виртуальная разрешимость, ни виртуальное отсутствие кручения не являются геометрическими свойствами.
Основной конструкцией для построения всех примеров данной работы
(Действительно, Итг_юо ^ — это нормированное среднее размаха блуждания по А. По лемме он равен нулю, так как блуждание по А возвратно.)
В силу произвольности выбора е 1ав = 0.
Необходимость: пусть 1ав = 0- Тогда А должна быть возвратной. Иначе бы, как и при доказательстве теоремы 1, блуждание по сплетению имело бы нетривиальную границу [23]. Тогда кл)в Ф 0, что противоречило бы тому, что 1ав — 0.
Докажем, что 1в = 0. Иначе существует е > 0, такое что А (ж) > ех. Заметим, что
1(с) > £(&1) + Д&г) + ■■■ + КУ-
Поэтому

Е(1(с)) > Е(/с1) + ... + Е(к,) > еЕ(к1 + ... + к,) = е——«
т + п
(Последнее равенство следует из усиленного закона больших чисел, т.к. на любом шаге с вероятностью —- происходит умножение на образующий, соответствующий группе В.) Это противоречит тому, что 1а>в = 0.