Исключительные гиперповерхностные особенности

• Автор: Кудрявцев, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с.

Оглавление
1 Введение
2 Дополнения на алгебраических многообразиях
2.1 Основные понятия и определения
2.2 Существование дополнений для расслоения на поверхности Дель-Пеццо
3 Индуктивный метод изучения логканонических особенностей
3.1 Исключительные и слабо исключительные особенности
3.2 Существование индуктивного раздутия
3.3 Критерии исключительности и слабой исключительности особенности • • • ^ V •’XX-.-*,
3.4 Логканонические рсббеннбсти . *
4 Ограниченность исключительных квазиоднородных ги-
перповерхностных особенностей
4.1 Предварительные сведения о гиперповерхностных особенностях
4.2 Исключительные терминальные особенности
4.3 Квазиоднородные гиперповерхностные особенности
4.4 Ограниченность исключительных гиперповерхностных особенностей
5 Трехмерные логканонические гиперповерхностные особенности
6 Классификация трехмерных исключительных канонических гиперповерхностных особенностей

Глэ>Вс1
Введение
Среди множества различных алгебраических, дифференциальных и топологических структур, которые можно рассматривать на алгебраическом многообразии, одно из центральных мест занимает поле рациональных функций. Это объясняется тем, что оно, с одной стороны, является довольно "грубым"объектом, так как инвариантно относительно перехода к открытому (в топологии Зарисского) подмножеству, и, с другой, заключает в себе весьма существенную информацию о самом многообразии. Изоморфизм полей функций двух многообразий индуцирует изоморфизм (в обычном, бирегулярном смысле) некоторых их открытых подмножеств, и наоборот. Такого сорта "не всюду опреде-ленные,|отображения называются бирациональными изоморфизмами и задают отношение эквивалентности в категории алгебраических многообразий. Раздел алгебраической геометрии, изучающий многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности, называется бирацио-нальной геометрией.
Сейчас проблема бирациональной классификации алгебраических многообразий решена в размерностях 1 и 2, т.е. для гладких кривых и поверхностей. Две кривые С и С*2 являются бирационалыю эквивалентными тогда и только тогда, когда их рода совпадают {д(С) == з^СД). Для поверхностей ответ гораздо сложнее, см. например, [1], [3]. В трехмерном случае эта проблема остается полностью открытой, кроме классификации неособых многообразий Фано [8], полученной В. А. Исковских в конце 70-х годов. Основная сложность с которой тут же сталкиваются исследователи - это отсутствие теоремы о факторизации бирацио-нальных отображений как в случае поверхностей. Напомним, что любое

Сейчас мы поясним как будут изучаться неизолированные гиперпо-верхностные особенности.
Определение 4.1.3. Пусть (Х,0) С (0 0) - неизолированная гиперповерхности ая особенность (возможно ненормальная), определенная многочленом /. По предложению 3.4.1, исследовать на исключительность эту особенность можно в произвольно малой окрестности нуля Ы. Например для трехмерных логканонических особенностей это означает, что (ЗищАГ 0) П Ы = [_1г - не линейно связное объединение и
вдоль каждой компоненты X Г Ы изоморфно С1 х (двухмерная логкано-ническая гиперповерхностная особенность). В п-мерном случае, пусть (З^Х 0) П Ы = ®)> гДе неприводимые аффинные
многообразия размерности щ. Определим попарно различные аффинные многообразия {УУ}, где щ = (ИтУХ. Набор индексов С {1,..., т} называется допустимым, если
Для всех различных допустимых наборов 1^ определим V3 =Г Пусть - радикал идеала многообразия V3 и /ь ..., /г образующие о^. Тогда имеет место разложение
/ = Ф1(/ь • • •, ■ ■ ■ , X,.) . + Ф„(Д, . . ■, }г)ит(хъ ...,хп), где
щ £ о,- для всех ;ь. По построению V3 многообразие {ях = ... = ит =0} пусто или неособо. Обозначим И4 = V) П {м& = 0} и повторим для неприводимых компонент непустых множеств И4 ту же процедуру, что и для ЛУ ■ В итоге получим множества УУ^'3 С V3, где - их размерность. Для всех б имеем отображение ф: X ПЦ —> V3. По построению для всех точек Р,Р2 € (Ур (Ц, и О)) (Ц^. Угщ) гиперповерхностные особенности размерности я — 1 — щ, соответствующие ф~1(Р) и ф~1{Р2) будут иметь один и тот же тип (разрешение) относительно диаграммы Ньютона, хотя не обязательно будут биголоморфиы друг другу. Этот тип обозначим через Аналогичное утверждение верно для отображения ф: ХГЫ —> и множества (У^’3 0) ^У‘’3. Соответствующий
тип обозначим через Р^к-