Симметрии графов на поверхностях и алгебраические кривые

• Автор: Амбург, Наталья Яковлевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с. : ил.

0 Введение

1 Основные категории

1.1 Двукрашенные рисунки

1.1.1 Категория детских рисунков

1.1.2 Категория неособых обобщенных детских рисунков

1.1.3 Категория обобщенных детских рисунков

1.1.4 Морфизмы на сферу Белого

1.2 Категории конечных Ъ * Z - множеств

1.3 Функтор САКТОд

1.4 Функтор Т>'Я.ЛУ

1.5 Категории пар Белого

1.6 Функтор Б£СУ1
1.7 Функтор ЯПОТТі
1.8 Функтор М.МТ>
1.9 Эквивалентность категорий
2 Детские рисунки с циклическими группами симметрий и
кривые Вейля
2.1 Правильные одноклеточные рисунки
2.1.1 Склейки 2п-угольника
2.1.2 Перечисление правильных одноклеточных рисунков
2.2 Правильные рисунки с циклической группой симметрии
2.2.1 Кривые Вейля
2.2.2 Функции Белого на кривых Вейля
2.3 Рисунки на кривых Вейля
2.3.1 Описание детского рисунка 0(п,р,д)

2.3.2 Реализация детского рисунка некоторой парой
Белого
2.4 Реализация правильных детских рисунков с группой автоморфизмов Z/nZ на кривых Вейля
2.5 Бирациональные изоморфизмы кривых Вейля
2.6 Изоморфизмы кривых Вейля рода один
3 Конструкции штребелевых дифференциалов
3.1 Определения
3.2 Действительное семейство мероморфных штребелевых пар
на эллиптических кривых
3.3 Пример штребелева дифференциала на кривой Вейля рода
д = з
3.3.1 Кривые и отображения
3.3.2 Голоморфный штребелев дифференциал на кривой рода д

Глава О
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации. На данный момент положение в современной математике таково, что актуальные задачи и традиционные подходы к ним очень сложны. И от молодого человека, решившего посвятить свою жизнь науке, требуется несколько лет упорного изучения уже накопленных знаний перед тем, как он сможет приступить к самостоятельным исследованиям. Один из величайших математиков XX-то века, Александр Гротендик видел один из выходов из создавшейся ситуации в том, что самые простые и понятные даже студенту объекты (такие, как двумерные поверхности или различные комбинаторные структуры) вполне достойны изучения. Они, по мнению Гротендика, быстро вводят нас в самые сложные и современные дисциплины (науки) такие как алгебраическая геометрия, теория чисел и т.д. Хотя сами идеи Гротендика никак нельзя назвать простыми. В своей программе [38, 39] он описывает несколько путей, ведущих от простого к сложному. Например, построение пространств Техмюллера Тд,7 больших родов из элементарных кубиков 7о,з, 7о,4> 7Ї,і,7Ї,2. Гротендик сравнивает это с тем, как дети складывают сложные дома из кирпичиков Лего. Он называет это игрой Лего-Тейхмюллер.
Детские рисунки - это конструкция, сочетающая в себе и двумерные поверхности и комбинаторику. Детский рисунок - это двумерная поверхность и граф, вложенный в нее, так что дополнение к нему - это несвязное объединение открытых дисков. Гротендик назвал графы рассматриваемого вида детскими рисунками (dessins d’enfant) за то, что они
— морфизм обобщенных детских рисунков,
дпотп{ох) = {Хир1),дпотп{о1) = (лаа)
— соответствующие пары Белого, а представитель / € { выбран как в утверждении 1.7.5. Тогда определим морфизм
дпогп({) := /.
1.8 Функтор ММТ>
Утверждение 1.8.1. Пусть X — алгебраическая кривая и /3 — функция Белого на ней. Тогда (3-прообраз интервала (0,1) — это объединение одномерных действительных непересекающихся и несамопересекаю-щихся кривых.
Доказательство. По определению функции Белого 1 (0,1) не содержит особенностей. Также /3—1 (0,1) не может содержать пересечений одномерных действительных кривых, т.к. такие точки оказались бы критическими, а значение функции Белого в критической точки может быть только {0,1,оо} £ (0,1). □
Определение 1.8.2. Пусть (Х,/3) — пара Белого. Определим конечное множество
МЛГЪ((Х,0))
как множество одномерных действительных кривых /3_1(0,1). Определим действие Ъ*Т, на множестве ЛЛМТ>{(Х, (3)). Пусть кривая
7 Е МЯТ>({Х,Р)).
Рассмотрим кривую я: [0,2х] —► X такую, что
с(0) 6 7 и /?(?(*)) = у-Тогда р0(7) € ММТ>((Х,(3)) такая, что я{2тт) € ра{7).