Об аддитивных свойствах арифметических функций

• Автор: Горяшин, Дмитрий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с. : ил.

Содержание
Обозначения
Введение

1 Точные квадраты вида [ап]

1.1 Вспомогательные леммы

1.2 Сведение к оценке тригонометрических сумм

1.3 Лемма об оценке тригонометрической суммы

1.4 Завершение доказательства теоремы

2 Бесквадратные числа вида [ап]

2.1 Сведение задачи к оценке тригонометрических сумм

2.2 Оценки тригонометрических сумм с бесквадратными числами .

2.3 Следствие о бесквадратных числах вида [ап] с чётным и
нечётным числом простых делителей
3 Аддитивные задачи с бесквадратными числами
3.1 Тернарная задача
3.1.1 Применение кругового метода
3.1.2 Интеграл Д: выделение главного члена
3.1.3 Оценка интеграла /о
3.1.4 Окончание доказательства теоремы

3.2 Бинарная задача
3.2.1 Выделение главного члена
3.2.2 Оценки тригонометрических сумм
4 Бесквадратные числа вида р
4.1 Асимптотика количества бесквадратных чисел вида р — 1 . .
4.2 Бесквадратные числа видар — 1 для простых чисел р, принадлежащих арифметической прогрессии
Литература

Используемые обозначения
Буквами a,, b, d, к, I, т. п, г, s.... обозначаются целые или натуральные числа, р — простые числа, М, N, К, Р,..., х, у,... — достаточно большие натуральные или вещественные числа; є — произвольное сколь угодно малое положительное число.
Кроме того, в диссертации используются следующие стандартные обозначения:
[ж] — целая часть вещественного числа х;
{.х} = х — [х] — дробная часть числа х;
||ж|| = min({x}. 1 — {ж}) = min х—п — расстояние от числа х до ближайшего

целого числа;
т(п) = У 1 — функция делителей (количество делителей числа п);

характеристическая функция множества точных квадратов;
1, если п — 1;
ц(тг) = < если п = Р1Р2 ■.. рг■ Р; — простые числа;
О, если р2 | п для некоторого простого числа р
функция Мёбиуса;

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала сумму Т4д. Воспользуемся известной формулой /12(т) — ^
(12т
^“Ег Е Екм ^27г/ЛАш = Е1 X] р(г/) ^ ^ ^2ткг(
КК-Р ^|т / 1Д$Р ' (К/аУ /Л %)>

« Е г Е |<‘М
//<;. у1 ^ .У
Разобьем внешние суммы но к и но сI каждую на <С 1п N сумм по промежуткам вида (К] 2 К] п (0:20} и соответственно, где 2К Е Р, 20 ^ faN-Тогда получим оценку
^ ^ ^2тки12 « Е 1 Е ^ ^ ^тпХкгс!

< 1x1 IV так ТТ(К, О),
1 ^КЦР/

„2тг/АА7г/
И/(ЛС) = Е I Е
К<Ы2К ‘ О «к
Далее в зависимости от величин / и О рассмотрим два случая: КО Е (аЛ01/3 и КО > (аЛО1/3.
Случай 1. Пусть выполнено неравенство КО Е (очУ)1/3. Применяя лемму 1.8, оценим сумму ИУ (К, О) следующим образом:
илл-.в)« е г Е

К<к^2К 0«1<

пип | -Г^-, - .7 ) ^
(р ’ IIАЫ
V—л V—' ((У N
«ЕЕ (й|£
К<к%2К 0<(Ц2Ц
кс12 ’ || АЫ21|