Ранговые функции матриц над полукольцами

• Автор: Шитов, Ярослав Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 с.

Оглавление
Введение
1 Матрицы над полукольцами и их ранги в общем елучае
1.1 Полукольца
1.1.1 Основные определения и обозначения
1.1.2 Примеры полуколец
1.2 Основы линейной алгебры с точки зрения теории полуколец
1.2.1 Линейная зависимость
1.2.2 Ранги матриц
1.3 Неравенства с рангами суммы и произведения матриц
1.3.1 Квазиселективные полукольца без делителей нуля
1.3.2 Полукольца, не являющиеся квазисслсктивными
1.3.3 Полукольца с делителями нуля
1.4 Ранги матриц над бинарным булевым полукольцом
1.4.1 Ранг Гондрана-Мину и другие ранговые функции
1.4.2 Детерминантный и тропический ранги
1.4.3 Примеры
2 О ранге Гондрана-Мину тропических матриц
2.1 О ранге тропического шаблона матрицы
2.2 Некоторые приложения метода тропических шаблонов
2.2.1 Взаимное поведение ранговых функций
2.2.2 О вычислительной сложности ранга Гондрапа-Мииу
2.3 О совпадении рангов Гондрана-Мину матриц малого размера
2.3.1 Примеры матриц, различающих ранговые функции
2.3.2 Пример матрицы размера 5 х 6 с различными строчным
и столбцовым рангами
2.3.3 Доказательство минимальности примера
3 Тропическая геометрия и ранги матриц
3.1 Основы тропической алгебраической геометрии

3.2 Ранговые функции с точки зрения алгебраической геометрии
3.2.1 Геометрическое описание ранговых функций
3.2.2 Различие функций тропического ранга и ранга Капранова102
3.3 Арифметические свойства ранга Капранова
3.3.1 Ранг Капранова и другие ранговые функции
3.3.2 Ранг Капранова над произвольным базовым полем
3.3.3 О рангах Капранова суммы и произведения матриц
3.4 Представимые матроиды и ранг Капранова
3.4.1 Основные понятия теории матроидов
3.4.2 Представимость тропических 01-матриц

Введение
Общая характеристика работы Актуальность темы исследования
Множество <5, на котором заданы бинарные операции сложения и умножения, обозначаемые как © и ®, называется полукольцом, если
• 5 — абелев моноид по сложению (нейтральный элемент этого моноида обозначается через 0);
• в — полугруппа по умножению (нейтральный элемент этой полугруппы, если он есть, обозначается через 1);
• умножение слева и справа дистрибутивно по сложению;
• для любого элемента х б Б верно, что ж®0 = 0®ж = 0.
Иными словами, основное отличие полуколец от колец проявляется в том, что не всякий элемент полукольца может быть обратим по сложению. Наиболее простые примеры полуколец, не являющихся кольцами, дают числовые множества: например, целые неотрицательные числа и неотрицательные вещественные числа К., являются полукольцами относительно обычных сложения и умножения. Важные примеры полуколец, не связанных с числовыми множествами, дают дистрибутивные решетки, булевы алгебры; множество всех идеалов заданного кольца также является полукольцом относительно суммы и произведения идеалов. Понятие полукольца было впервые непосредственно введено, вероятно, американским математиком Г. Вандивером в работе [48], посвященной проблемам, связанным с аксиоматизацией натуральных чисел. Впоследствии на протяжении многих лет полукольца изучались многими математиками с различных точек зрения и в связи с различными теоретическими и прикладными задачами.

Доказательство. Из определения 1.2.2 следует, что две произвольные строки матрицы А СМ-зависимы. Поэтому ДМг{А) 1. Аналогично, ОМг(В) 1.
Предположим теперь, что строки матрицы Д СМ-зависимы. Тогда, согласно определению 1.2.2 реализуется один из трех случаев.
1. При некоторых Лц Лг, Аз £ <5 не все из которых равны 0, верна система равенств
Г А1 <8> а = Л2 <8> (а Ф Ь) ф Лз ® Ь,
1-1 ® (а ® Ь) — Аг ® 6 ® Аз ® а.
К левой и правой частям первого равенства прибавим (Аг® Аз)® а; ко второму равенству прибавим первое; получим, пользуясь идемпотентностью,
Г (Ах ® А2 ® Аз) ® а = (А2 ® Аз) ® (а ф &),
|Л1 ® (а ф 6) = (А2 © Аз) ® (а © Ъ).
Из второго равенства последней системы следует, что (Ао © Аз) ® (а © 6) = (А1 0 А2 Ф Аз) <2> (о ® 6), т.к. полукольцо 5 идемпотентио. Таким образом, используя первое равенство, получаем, что (Ах ф А2 Ф Аз) ® а — (Ах ® Аг Ф Аз) ® (а © Ь), или (Ах ® А2 Ф Аз) ® а > (Ах ф А2 0 Аз) ® Ь. Согласно условию леммы Ах ® Аг ® Аз = 0. В силу утверждения 1.1.12, Ах = Аг = Аз = 0, что противоречит предположению. Случай 1 не реализуется.
2. При некоторых рх, Рз £ 5, не все из которых равны 0, верна система равенств
{Р2 © (а Ф 6) = рх ® а ф р3 ® Ь,
Рг ® Ь — рх ® (а ® Ь) ф р3 ® а.
К первому равенству прибавим второе; к левой и правой частям второго равенства прибавим (рх 0 рз) ® 6; получим, пользуясь идемпотентностью,
Грг ® (о Ф Ь) = (рх Ф Дз) ® (а ® Ь),
|(рх ф р2 Ф Рз) <® 6 = (цх Ф /Лз) ® (а ® Ь).
Из первого равенства последней системы следует, что (рх ©/Лз) ® (а ф 6) = (рх © Р2 © /Лз) ® (а ® 5), т.к. полукольцо 5 идемпотентио. Таким образом, используя второе равенство, получаем, что (рх ф рг © /©) ®Ь = (рх ф рг © /лз) ® (а © 6), или (/Лх ф //2 Ф /лз) ® 6 (рх ф рг Ф /лз) © я. Согласно условию леммы рх Ф рг Ф Рз = 0. В силу утверждения 1.1.12, рх = р2 = /Лз = 61 что противоречит предположению. Случай 2 не реализуется.
3. При некоторых мх, м2, Рх £ 5, не все из которых равны 0, верна система равенств
(глз ® Ь = лц ® а © г/2 ® (о ф Ь), лз ® а = 1У1 ® (а ф 6) ф г'г ® Ъ.