Представления конечномерных ассоциативных алгебр

• Автор: Дубнов, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 64 с.

Оглавление
I Базисные алгебры конечной гомологической размерности
1. Необходимые сведения о базисных алгебрах
2. Композиция базисных алгебр и композиция по двум гомоморфизмам
II Представления двухвершинных алгебр
3. Сверхжёсткие объекты в производных категориях модулей над петельными алгебрами
4. Двухвершинные алгебры гомологической размерности
5. Исключительные пары

Введение
В диссертации изучаются представления базисных алгебр над полем. Если основное поле агебраически замкнуто, то любая конечномерная алгебра Морита-эквивалентна своей базисной алгебре, и в этом случае охватываются представления всех конечномерных алгебр.
Категория представлений конечномерной алгебры (как и её производная) порождена конечным числом объектов. Такие категории возникают в линейной алгебре, алгебраической геометрии, теории представлений алгебр Ли, в некоторых физических теориях, и их алгебраическая интерпретация может оказаться очень полезной. Особенно важен случай модулей над алгебрами конечной гомологической размерности. Следует сразу сказать, что не всякая насыщенная триангулированная категория [4] (аналог абелевой категории конечной гомологической размерности), порождённая конечным числом объектов, эквивалентна производной категории модулей над конечномерной алгеброй. Как видно из результатов пятой главы диссертации (пример 5.9), примером может служить категория, порождённая исключительной парой < Е, > с ненулевыми пространствами Ех(Е, Е), Ехг2(Е, Е), Ех?(Е, Е).
Интерес к представлениям конечномерных алгебр первоначально возник в связи с задачами линейной алгебры, например с задачей о четвёрке линейных подпространств [20]. В этих задачах возникали алгебры путей колчанов без соотношений. Если такая алгебра конечномерна (это равносильно отсутствию в графе петель и ориентированных циклов), то её гомологическая размерность не превосходит 1. Обратно, всякая базисная алгебра гомологической размерности 1 является алгеброй путей колчана без соотношений. Любой комплекс модулей над такой алгеброй квазиизоморфен сумме своих когомологий (это верно для любой абелевой категории гомологической размерности 1). Однако абелева категория представлений таких алгебр может быть устроена очень сложно. В 1972 году Габриэль доказал [17], что у алгебры связного колчана число неизоморфных неразложимых представлений конечно в том и только, в том случае, когда граф колчана - схема Дынкина. В работе [3] были введены так называемые функторы отражения, или обра-

щения стрелок, выходящих (входящих) из одной вершины, которые впоследствии были осмыслены как эквивалентности производных категорий представлений различных колчанов. Достаточно хорошо изучен более широкий, но вполне обозримый класс ручных колчанов (счётное количество неразложимых модулей).
Следующий по сложности класс базисных алгебр — это упорядоченные алгебры. Это алгебры путей упорядоченных колчанов с соотношениями. Иначе говоря, базисная алгебра называется упорядоченной, если её ортогональные идемпотенты pi можно упорядочить таким образом, чтобы пространства Aij = PiApj были нулевыми при г > j, и, кроме того, dim Aiti = 1. Гомологическая размерность таких алгебр меньше числа вершин.
Тесно связанными с представлениями наследственных алгебр оказались категории ко-герентых пучков на некоторых проективных многообразиях с группой Гротендика конечного ранга, в частности на многообразиях Фано. В 1978 году в статье Бейлинсона [1] была установлена эквивалентность производных категорий когерентных пучков на Рп и стабильной гомотопической категории пучков 0(г), 0 < г < п, а в статье Бернштейна, Гельфанда и Гельфанда [2] — с факторкатегорией Mb(A)/F -градуированных конеч-нопорождённых модулей по свободным над алгебой ф£_0 А*(Е), где Е'— (п + 1)-мерное векторное пространство. В дальнейшем выяснилось, что эта категория имеет более простое описание: В работе Бондала [4] доказывается, что она эквивалентна производной категории модулей над алгеброй эндоморфизмов полного исключительного набора пучков. Для Рп этот набор состоит из пучков 0(1), 0(2)
В статье [4] также предложена общая теория исключительных наборов. Другой взгляд на проблему, связанный с понятием тилтинг-пучка можно найти в статье Баер [10]. Тилтинг-пучок — это такой когерентный пучок F, что Ext'(.F, F) = 0 при i > 0, прямые слагаемые F порождают всю производную категорию когерентных пучков Db(Coh — X) и hdim(End(F)) < оо. В этой ситуации категории Db(Coh — X) и Db(Mod — End(F)) эквивалентны.
проективная размерность X:
рсйт(Х) = р„(ЛГ) - р6(Х);
длина X:
еп&Ь(Х) = ре(Х) - Ь{Х) + 1.
3.8. Лемма
1) Ненулевые члены следующих комплексов векторных пространств с нулевым дифференциалом лежат на следующих неуменынаемых отрезках :
1) Ногл*(0£'ьС') на рб(С'),1е(С)];
и) Нот*(Л, С) на [&((?), Ре(С*)]> ш) Нот*((7,05,-) на [—Рв(С'), —рь(С7)]; 1у) Нот*(С,Л*) на [—ре(С'), — 1ь(С)].
2) Кроме того,
Ноти<с)(4*,С) ф 0; Нот р‘(с>(С>)0.
Доказательство.
1) Рассмотрим минимальный проективный комплекс для С. Применив к нему функтор #ога(*, ф5») получим комплекс с нулевыми дифференциалами, членами которого будут пространства образующих членов этого проективного комплексов (пространство образующих модуля определяется в следующем пункте). Поскольку пространство образующих ненулевого модуля ненулевое, утверждение (ш) доказано.