Бирационально жесткие многомерные фано-расслоения

• Автор: Соболев, Игорь Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с.

Оглавление
1 Введение
1.1 Предварительные замечания
1.2 Цель работы
1.3 План работы
2 Метод максимальных особенностей
2.1 Фано-расслоения и бирациональная жесткость
2.2 Дискретные нормирования
2.3 Максимальные особенности
2.4 Подсчет кратностей
2.5 Пучки кубических поверхностей
3 Бирациональная жесткость многообразия Уз
3.1 Формулировка результата
3.2 Максимальные особенности, лежащие над точками
3.3 Начало исключения бесконечно близкой особенности
3.4 Максимальная особенность над точкой горизонтальной прямой
3.5 Исключение бесконечно близкой особенности
3.6 Описание бирациональных отображений
3.7 Проверка условий общности
4 Бирациональная жесткость многообразия Ум
4.1 Введение
4.2 Формулировка результата
4.3 Максимальные особенности
4.4 Оценки кратностей циклов
4.5 Исключение максимальной особенности

Глава
Введение
1.1 Предварительные замечания
Классификация алгебраических многообразий — основная цель алгебраической геометрии. Одним из отношений эквивалентности, с помощью которых можно осуществлять эту классификацию, является бирацио-налыгый изоморфизм. Его изучение составляет предмет бирациоиальиой геометрии. Бирациональный изоморфизм сохраняет важные инварианты многообразия и в то же время позволяет объединить в один класс многообразия с похожими свойствами, поэтому задачи бирациональной геометрии представляют большой интерес и привлекают внимание многих исследователей.
Одним из первых результатов бирациональной геометрии является теорема М. Нетера о структуре двумерной группы Кремоны, то есть группы бирациональных автоморфизмов проективной плоскости (см.[31]) Он доказал, что всякий такой автоморфизм раскладывается в композицию линейных и квадратичных преобразований. Нетер рассуждал следующим образом: предполагая, что отображение х '■ —* Р2 не явля-
ется изоморфизмом, он доказывал существование трех базисных точек линейной системы |х| (собственного прообраза полной линейной системы прямых относительно х); сумма кратностей которых строго больше степени кривых из [х! • Далее рассматривалось квадратичное преобразование т, связанное с этими тремя точками и линейная система |х ° т, степень которой уже меньше степени |х|, и исходные рассуждения повторялись для отображения х 0 т- Заметим, что уже эта первая работа содержала идею метода, впоследствии названного методом максимальных особенностей. Здесь также возникают типичные для метода трудности, связанные с тем, что базисные точки максимальной кратности могут быть бесконечно близкими. Самому Нетеру не удалось преодолеть их и
его доказательство было завершено позже.
Итальянский геометр Дж. Фано, работаший в начале двадцатого века, пытался применить идеи Нетера к исследованию бирациональных соответствий трехмерных многообразий. В одной из своих работ он утверждал, что любое бирациональное соответствие между двумя гладкими трехмерными квартиками есть бирегулярный изоморфизм. Действуя как в двумерном случае, Фано доказывал существование в базисном множестве линейной системы, задающей бирациональное отображение, точки или кривой большой кратности, что противоречит подвижности этой линейной системы. Проблема здесь в том, что такие точки и кривые могут быть бесконечно близкими, что приводит к необходимости анализа большого числа случаев. Фано ограничился рассмотрением лишь простейших из них, поэтому полное доказательство в его работе отсутствовало. Используя аналогичные соображения, Фано также сформулировал и пробовал доказать многие утверждения, относящиеся к бирациональ-ной геометрии широкого класса трехмерных многообразий, называемых теперь многообразиями Фано (см. [25], [26],[27],[28]), однако его рассуждения были неполными и часто просто неверными.
Следующий этап в формировании бирациональной геометрии начался с исследований В.А. Исковских и Ю.И. Манина. Начав с работ по теории рациональных поверхностей, они использовали накопленный опыт для изучения трехмерных многообразий. В 1971 году Исковских и Мании дали строгое доказательство утверждения Фано о трехмерных квартиках ([4]), создав новый эффективный метод исследования бирациональных свойств многомерных алгебраических многообразий — метод максимальных особенностей. В последующие два десятилетия В.А. Исковских и его ученики доказали несколько других результатов об алгебраических многообразиях, близких к рациональным. Среди них отметим теорему В.Г. Саркисова [16] о единственности структуры расслоения на коники при больших вырождениях и результат A.B. Пухликова |9] о совпадении групп бирациональных и бирегулярных автоморфизмов четырехмерной квинтики. Область применения метода максимальных особенностей в этот период была, однако, довольно узкой, и многие примеры трехмерных многообразий, исследовавшиеся еще Фано, не поддавались изучению. К середине 80-х годов стало ясно, что для дальнейшего развития требуются новые идеи.
Несколько лет назад A.B. Пухликову удалось существенно усовершенствовать технику метода максимальных особенностей, расширив грани-
где все компоненты Zf при г Д О являются горизонтальными компонентами Si, a Zf и Si не имеют общих компонент. В силу условия 3) из §3.1 циклы Zf неприводимы и Zf = ßf(3s + /). Пусть Zf = ajs + ßff. Так как 3(ßf + ßf + ßf) < ah < 3гг, то среди чисел ßf,ßf,ßf найдутся два (например, ßf, ßf), не превосходящих 4-- Рассмотрим проекцию Ъ : Р1 XР3 —> Р3. Поверхность Si — <т_1(ег(£;)) изоморфна Р1 хр1. Так как Li С Si, Zf С S;, то (Zf ■ Li) = 3 ßf. Пусть Hi — плоскость в Р3, содержащая прямую a(Lß и Gi = cr~ (Hi). Для общей Я, поверхность G; не содержит компонент цикла Zf при i ф j. Поэтому (Zf-Lf) < (Zf-Gß = ßf. Мы имеем неравенство
(Zh • Lß < 3ßf + ßf + ßf + ßf = 0 + 2ßf,
{i,j, k} = {1,2,3}, поэтому
(.Zh ■ Lß <ßh + n
для i — 1,2. Предположим теперь, что
4 ne 9 v
— -f 2n — ß u(F)
для {i,j} = {1,2} и
h -b k'i dj > ■
! J 7 4ne
k + K2 + аз >

Складывая эти неравенства, получим

ИГ,'2”'-*’*
что противоречит неравенству

ТО есть ДЛЯ ОДНОЙ ИЗ Li выполнено утверждение леммы.
Исключение максимальной особенности над точкой Эккарта мы отложим до §3.5.
3.4 Максимальная особенность над точкой горизонтальной прямой.
Пусть Є—граф разрешения максимальной особенности V. Рассмотрим граф Г, полученный из О удалением ребер, соединяющих вершины і и