Об оценках линейных форм и многочленов от значений аналитических функций некоторых классов

• Автор: Макаров, Юрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 c. : ил

Обозначения

§1. Краткий обзор исследований, связанных с

содержанием работы

§2, Формулировки основных результатов

Глава I, Оценки линейных форм от значений

Е-функций

§1. Доказательства теорем I, I*, 2,

§2. Доказательства теорем 3, 3*,

§3. Доказательства теорем 5, 5#, 6, 6;,

Глава 2. Доказательства общих теорем об эффективных оценках многочленов от значений
Е-функций
§1. Доказательство теоремы
§2. Доказательство теоремы
§3. Доказательство теоремы
Глава 3. Эффективные оценки многочленов от значений некоторых гипергеометрических Е-функций..103 Литература
ОБОЗНАЧЕНИЙ /А/ - множество натуральных чисел.
72L - кольцо целых рациональных чисел.
+ - множество целых рациональных неотрицательных чисел.
(Q - поле рациональных чисел.
IR - поле действительных чисел.
- поле комплексных чисел.
// - поле всех алгебраических чисел.
ІК - фиксированное алгебраическое поле над Q
[IK-Q] - степень алгебраического поля //<' над Q
- кольцо целых алгебраических чисел алгебраического поля //с'
- максимум модулей чисел, сопряженных для числа оС в поле //^
Л - некоторое мнимое квадратичное поле.
кУ - произвольное поле или кольцо.
У - кольцо многочленов от у над
полем (кольцом)
) - поле рациональных функций от 2, 2^ над полем . rfeg. Р(2) _ степень многочлена )
Н (?) - высота многочлена Р
- порядок нуля аналитической функции ^2-) в точке 2-= О
Ці (i ~ меРа линейной независимости чисел
. • • •» *
- мера трансцендентности числа
ф| 'меРа взаимной трансцендентности чисел

§1. Краткий обзор исследовании, связанных с содержанием работы.
В диссертации устанавливается ряд теорем об оценках снизу модулей линейных форм и многочленов с целыми рациональными и целыми алгебраическими коэффициентами от значений в алгебраических точках Е-функ-ций , удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из поля рациональных функций.
В работе используется известный метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, ведущий свое начало от работы К.Зигеля и получивший дальнейшее развитие в работах А.Б.Шидловского см. [8:1-8]
Этот метод является существенным обобщением классического метода Эрмита-Линдемана [і2:і] , [і4:І^ в теории трансцендентных чисел.
Пусть в дальнейшем /А/ обозначает множество натуральных чисел, ^ - кольцо целых рациональных чисел, + - множество целых неотрицательных чисел, а СР и (С , соответственно,поля рациональных и комплексных чисел.
Если -произвольное поле (кольцо) , то
7 будет обозначать кольцо многочленов над полем (кольцом ) от переменных і* ,
функций от переменных 2, »♦ • • * 2^ с коэффициентами из ПОЛЯ кУДействительное или комплексное число оС называется алгебраическим, если существует многочлен
[ %3 , РФ О .такой,ЧТО Р(аС)~ О

отличный от нуля минор порядка £
Так как всякий минор порядка £+1 равен нулю, то для всех пар (1ц) = , 4=± £,
и для всех Ь — I выполняются равенства
^ Я . . ■ £> . , 0 .*1кф)
(1.18)
По определению (1.15) линейных форм (%)

УУХ. *
-1®+^ГР, 1<к)
'* Ья° V, Ц/Ь/ >,
где |^Сг) 1 .
Разобьём сумму, стоящую в правой части этого равенства на две суммы, отнеся в первую сушу слагаемые с индексами
а во вторую - все остальные слагаемые. Учитывая
равенства (1.18) , получим