Изотропность маломерных форм над полями функций квадрик

• Автор: Ижболдин, Олег Томович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 230 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. Изотропность б-мерных форм над полями функций квадрик §1. Введение
§2. Терминология и обозначения
§3. Изотропность виртуальных форм Алберта
§4. Группа i/3(.F(jOi,р2)/-0 Для пары форм
§5. Группа I3(F{p,ip)/F) для пары форм
§6. Группа F[3(F(p,ifj)/F) в случае indCo(p) Op C'o(V’)
§7. Стандартная изотропность 6-мерных виртуальных соседей
§8. Нестандартная изотропность
Глава 2. Изотропность 8-мерных форм над полями функций квадрик §1. Введение
§2. Группа Tors G*A(X). для гладкого однородного многообразия 52 §3. Кольцо Чжоу произведения X хУ
§4. Группа TorsCH2(X,/, х Xd) для формы ф и алгебры D
§5. Группа H3(Fty,D)/F) для формы ф и алгебры D
§6. Изотропность форм индекса
§7. Обобщения
§8. Вычисление группы H3(F(Xp х Xd)/F)
§9. Восьмимерные квадратичные формы индекса
§10. Группы H3{F{,D)/F) и 73(Т(ф, D)/F)
§11. Jl-стандартная изотропность (общие результаты)
§12. Л-стандартная изотропность в случае Tors СП2(Хф х Xd)
§13. Группа Н3(Р(ф, D)/F) в случае ind (Со(ф) Of D)
§14. Изотропность 8-мерных форм индекса
Глава 3. Изотропность 7-мерных форм над полями функций квадрик §1. Введение

§2. Основные факты и обозначения
§3. Гомоморфизмы алгебр
§4. 17-формы
§5. Обобщение теоремы Тиньеля
§6. Семимерные формы
§7. Восьмимерные формы
Глава 4. Поле с [/-инвариантом
§1. Введение
§2. Квадратичные формы
§3. Градуированная группа Гротендика квадрик
§4. Группы Чжоу квадрик
§5. Когомологии Галуа
§6. Неразветвленные когомологии квадрик
§7. Соседи форм Пфистера над полями функций
§8. Построение поля с д-инвариантом
§9. 10-мерные формы с максимальным расщеплением
Глава 5. Сильное расщепление
§1. Введение
§2. Формы размерности 2n+1 — 5 с максимальным расщеплением 147 §3. Формы размерности 2п+1 — 6 с максимальным расщеплением 152 §4. Условие гу(<Рр{ф)) 2 для форм <р размерности
§5. Случай 8-мерной формы tp € I2(F)
§6. Случай 8-мерной формы ip g I2(F)
§7. Следствия. Классификация квазисоседей
§8. Изотропность некоторых виртуальных соседей
§9. Почти соседи
§10. Доказательство теоремы
Глава 6. Превосходность расширений
§1. Введение
§2. Критерий универсальной превосходности
§3. Нестандартная изотропность
§4. Поля функций многообразий Севери Брауэра

§5. Специальные тройки „
§6. Критерий универсальной превосходности
§7. Пять-превосходность расширения К(8В (А.))/Е
§8. Примеры непревосходных расширений
Приложение А. Сюръективность гомоморфизма ёг для некоторых однородных многообразий
Приложение Б. Критерий универсальной превосходности общих полей расщепления квадратичных форм
Список литературы
ГЛАВА

Теперь, заменяя р на р[ и р2 на р'2, мы сводим доказательство к случаю dim pi = dimp2 = 3. В данном случае, dim Xps х ХР2 = 2; поэтому, TorsCH2(Apl х ХР2) = 0 (см. лемму 4.4). Так как коника XPi изоморфна многообразию Севери-Брауэра алгебры Ci d= Co(pi), то применяя [93, Теор. 41], мы получаем
H3(F(Pl,p2)/F, Q/Z(2j) = [Сг}С HF,Q/Z(l)) + [С2] U H1 (F, Q/Z(-l)>
Так как 2[Ci] = 2[C2] = 0 в группе H2(F, Q/Z(l)) = Br(F), то группа 2H3(F(p1,p2)/F, Q/Z(2)) - нулевая. □
Следствие 4.11. Пусть p и p2 — квадратичные формы размерности 3. Тогда гомоморфизм
H3(F(p1,p2)/F) -> Tors СН2(АР1 хХР2),
индуцированный эпиморфизм из предложения 4.1, является сюръективным. В частности, группа 2TorsCH2(A/3l хХР2) - нулевая. □
Следствие 4.12. Для любых квадратичных форм р и р2 размерности 3, существует естественный изоморфизм
H3(F(Pl,p2)/F) Tors CH2(Xpi x Xp2)
H3{F{p1)/F) + H3{F(p2)/F) ~ prJ Tors CH2() + pr Tors CH2{XP2 ) '
Доказательство., Следует из предложения 4.2 и лемм 4.8 и 4.10. □
Следствие 4.13. Для любых квадратичных форм pi и р2, удовлетворяющих условию 3 dim р 4 (г = 1,2), существует естественный изоморфизм
~ Tors СН2(Х х X )
H3{F{Pl)/F) + H3{F[p2)/F) ~ iorsOH хлрД-
Доказательство. Очевидно ввиду следствия 4.12 и леммы 4.4. □
5. Группа I3(F(p,ÿ)/F) для пары форм Следующее утверждение является очевидным:
Лемма 5.1. Пусть р = {—a, —b, ab, d) — квадратичная форма над полем F. Для любого k £ F* следующие условия равносильны.
(1) к С DF({(d)));
(2) «а, Ь, к)) = р((к));
(3) p«fe»€P3(F). □