Усредненная функция Дена и спектр Райдемайстера свободных абелевых и близких к ним групп

• Автор: Кукина, Екатерина Георгиевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 54 с.

Оглавление
Введение
Усредненная функция Дена
Спектр Райдемайстера
1 Предварительные сведения
1.1 Усредненная функция Дена
1.2 Относительная усредненная функция Дена
1.3 Спектр Райдемайстера
2 Усредненная функция Дена для свободных абелевых групп
2.1 Идея доказательства
2.2 Ограничение площади
2.3 Ограничение вероятности выхода за куб
2.4 Окончание доказательства теоремы
2.5 О произвольных абелевых группах
2.6 О некоторых плоских кристаллографических группах
3 Усредненная функция Дена для группы
3.1 Вычисление усредненной функции Дена для группы й2
3.2 Сокращения в свободной абелевой группе
3.3 Распределение единичных слов в группе
3.3.1 Количество единичных слов для группы
3.3.2 Точная усредненная функция Дена для
3.3.3 Некоторые предельные замечания

4 Относительная усредненная функция Дена
4.1 Ограничение сверху
4.2 Ограничение снизу
5 Спектр Райдемайстера
5.1 Спектры Райдемайстера свободных абелевых групп
5.2 Свободные нильпотентные группы ступени 2 рангов 2 и
5.3 Спектры Райдемайстера конечно порожденных абелевых групп
Заключение
Литература

Введение
Свободные абелевы группы — достаточно хорошо изученный математический объект. Поэтому при возникновении нового понятия, функции возникает естественное желание в первую очередь исследовать это понятие для свободных абелевых групп, потом пытаться изучать какие-нибудь близкие группы. В данной диссертации рассматриваются два сравнительно новых понятия в теории групп: усредненная функция Дена и спектр Райдемайстера, которые в первую очередь исследованы как раз для свободных абелевых групп.
Усредненная функция Дена
Идея рассмотрения изопериметрической функции для конечно определенных групп восходит к работам Макса Дена 1910-12 годов. Ден доказывает, что проблема равенства слов для стандартного представления фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности второго рода и выше разрешима. Теперь алгоритм ее решения так и называется алгоритмом Дена. Прямым следствием этого факта является то, что функция Дена этих групп удовлетворяет неравенству D(n) < п. Этот результат был расширен М.Д. Гриндлингером в 1960 году, представившим группы, удовлетворяющие условию С(|) малого сокращения ([15]).
Однако, понятие изопериметрической функции и функции Дена оформилось только и конце 80-х - начале 90-х в связи с возникновением и развитием теории словесно-гиперболических групп. В своей монографии "Гиперболические группы" в 1987 году Громов впервые вводит определение функции Дена ([19]) и показывает, что словесно-гиперболические группы удовлетворяют линейному

Глава
Относительная усредненная функция Дена
В этой главе рассматривается неклассическое усреднение функции Дена. Доказывается, что при некоторых ограничениях на саму группу и на распределение, заданное на группе, относительная усредненная функция Дена ограничена сверху и снизу положительными константами.
4.1 Ограничение сверху
Теорема 3. Пусть G — конечно-определенная группа с условием ö(k) < № для некоторого ß > 0, и пусть {рД — хорошая вероятность на N с условием MßP = М < оо. Тогда относительная усредненная фукнция Дена ((к) группы G, отвечающая сложности 7(н;) = |гс| и вероятности {рк}, не превосходит некоторой положительной константы.
Условие 6(к) -< к13 означает, что существует положительная константа D такая, что <5(&) < Dk@ для всех к > 1.
Преобразуем выражение (1.6), используя равенство вероятностей для слов одинаковой длины и некоторые другие простые свойства:
Е Е p{w)Sw jh пк sw
. / х к~1 wGAßc к=1 w€Ak
Cr «W =