Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли

• Автор: Желябин, Виктор Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 131 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. КОНСТРУКЦИЯ КАНТОРА - КЕХЕРА
ТИТСА ДЛЯ КОАЛГЕБР
§ 1. Предварительные результаты
§ 2. Структуризуемые коалгебры
§ 3. Локальная конечномерность структуризуемых
коалгебр
§ 4. Слабо внутренние дифференцирования
§ 5. ККТ-конструкция для йордановых коалгебр
§ 6. Подкоалгебры и коидеалы коалгебры (£(«/), Дь)
ГЛАВА 2. АССОЦИАТИВНЫЕ И ЙОРДАНОВЫ
Д-БИАЛГЕБРЫ
§ 1. Ассоциативные Д-биалгебры
§ 2. Йордановы Д-биалгебры
§ 3. Пограничные йордановы биалгебры
§ 4. Симплектические формы на йордановых алгебрах
ГЛАВА 3. СВЯЗЬ ЙОРДАНОВЫХ И ЛИЕВЫХ БИАЛГЕБР
§ 1. Йордановы Д-биалгебры типа
§ 2. Йордановы Д-биалгебры типа Я (А, у)
§ 3. Биалгебры Ли, связанные с йордановыми алгебрами
ГЛАВА 4. ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ
СТРУКТУРУ Д-БИАЛГЕБРЫ
§ 1. Треугольные йордановы Д-биалгебры
§ 2. Йордановы Д-биалгебры, заданные на полупростых
йордановых алгебрах
§ 3. Йордановы алгебры, допускающие нетривиальную
структуру квазитреугольной Д-биалгебры
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Актуальность темы. Йордановы алгебры впервые возникли в 1934 г. в совместной статье П.Йордана, Дж. фон Неймана и Е.Вигнера ”06 алгебраических обобщениях формализма квантовой механики” [32]. Согласно предложенному ими формализму, наблюдаемой данной физической системе соответствует линейный самосопряженный оператор ф действующий в гильбертовом пространстве Н, а всякому состоянию, рассматриваемой системы, соответствует элемент з пространства Н. Одним из важных свойств самосопряженных операторов ф и ф является то, что их симметризованное произведение ф © ф = = {фф 4- фф) — самосопряженный оператор. Введенная таким образом операция © на пространстве наблюдаемых уже не является ассоциативной, но удовлетворяет следующим равенствам:
ф © ф = ф © ф, (ф2 © ф) © ф = ф2 © (ф © ф).
В связи с этим возникла потребность в изучение алгебр над ассоциативным коммутативным кольцом Ф, содержащим | и, удовлетворяющим относительно умножения тождествам
ху — ух — коммутативность, (1)
{х2у)х = х2(ух) — йорданово тождество. (2)
Алгебры, в которых выполняются тождества (1) и (2), называются йордановы алгебры. Рассмотрим наиболее интересные примеры йор-дановых алгебр
1. Пусть А — ассоциативная алгебра. Тогда алгебра с той
же структурой Ф-модуля, что и А и симметризованным умножением х © у = {ху + ух) является йордановой алгеброй.
2. Пусть (А, у) —- ассоциативная алгебра с инволюцией. Тогда
алгебра симметрических элементов Н(А,ф) = {а Е Аа3 — а} — подалгебра алгебры А( К
3. Пусть V — линейное пространство над полем Р1, / : V х V И-V — симметрическая билинейная форма на V. Тогда прямая сумма линейных пространств Е1 © V с умножением
(а + а)(/3 + Ь) = (а/3 + /(а, Ь)) + (аЬ + /За)

является йордановой алгеброй. Эту алгебру называют алгеброй симметрической билинейной формы.
Интерес к йордановым алгебрам со стороны математиков связан с вещественным, комплексным и функциональным анализом [2], [3], [15],[33], [34], [27], геометрией [26], [17], проективной геометрий [28], [44], алгебраическими группами [45], другими классами алгебр и прежде всего с алгебрами Ли.
Так, например, М.Томбер [49] показал, что алгебра Ли типа реализуется как алгебра дифференцирований исключительной простой йордановой алгебры. Ж.Титс [47], [48] применил йордановы алгебры для построения исключительных алгебр Ли типа Еб, Е7, Ед. Развивая идеи Титса, М. Кёхер [35] и И.Л. Кантор [12] вложили произвольную йорданову алгебру в Z-гpaдyиpoвaннyю (3-градуированную) алгебру Ли 7(7) = 7/_1+7/о+7/1, где 7/, = О при і > 1. Это вложение получило название конструкции Кантора - Кёхера - Титса (ККТ-конструкция), а алгбра 7/(7) присоединенной ККТ-алгеброй Ли.
Связь йордановых алгебр с градуированными алгебрами Ли является двусторонней. Произвольной Z-гpaдyиpoвaннoй алгебре Ли Ь = Т_1 + Т/о + Ті можно поставить в соответствие йорданову пару (i-i.ii).
Алгебры Ли Аа, Вп, Сп, Еб, Е7 обладают нетривиальной 3-градуировкой, поэтому допускают построения и изучения с помощью йордановых алгебр (йордановых пар). Алгебры вг, Р4, Е8 не обладают 3-градуировкой, но обладают Z-гpaдyиpoвкoй вида Ь = 7/_г + 7/_і + 7/0+ +7/1 + 7/2. Для их изучения Б. Алиссоном [20] был введен класс струк-туризуемых алгебр, который по своим свойством близок к классу йордановых алгебр (каждая йорданова алгебра является структуризу-емой алгеброй). Как и в случае йордановых алгебр, произвольную структуризуемую алгебру (А,у) (і — инволюция алгебры А) можно вложить в Z-гpaдyиpoвaннyю алгебру Ли К((А)) = 7Г_2 + К- + То + К + К2. Это вложение получило название конструкции Кантора - Алиссона (КА-конструкция).
Используя связь йордановых алгебр с Z-гpaдyиpoвaнными алгебрами Ли, Е. Зельманов [10] описал простые алгебры Ли с произвольной конечной -градуировкой.
Каждую алгебру А над полем Ф можно понимать как пару (А, т), где то — линейное отображение из А® А в А, которое называется умножением и т(х®у) = ху. Если алгебра (А, то) принадлежит некоторо-

такое, что (/d,6) — (/ii,6) для любых / Е J* и Ь Е В. Поэтому (fd, а) = Следовательно, (/, a(i — ii)) = —(/(i — ii), а) = 0 для
любого /€«/*, т.е. ai = aii.
Очевидно, что (/d,6) — —(f,bD) для любых / Е J*, 6 Е J и 7? 7) С В для любой подкоалгебры 5 из (.7, Д). Пусть подалгебра В из J является конечномерной. Тогда существует такой элемент i Е Intder(J*), что (/d, 6) = (/i, b) для любых / Е «7* и 6 6 В. Поэтому (/,6D) = — (yd, 6) = (/, 6i), т.е. 67) = 6i для любого 6 из В. Покажем, что D является дифференцированием алгебры D(J). Пусть /, 5 Е и а Е J. Поскольку gd = #7) и (/, (а 5)7)} = —(/d,a 5}, то
(/, (a-g)D) = ~{fdg,a) = -((fg)d,a) + (gdf,a) = (f,aD-g) + (f,gD-a).
Отсюда (a 5)/) = ai) 5 + 5 7) a. Следовательно, D — дифференцирование алгебры D(J).
Лемма 1.4.2. Существует такой изоморфизм ф между пространством Wintder(J*) и пространством всех линейных функционалов, заданных на пространстве [J*,J], что (/(d), [/, a]} = (/d, а) для любых feJ*,aeJnde Wintder(J*).
Разобьем доказательство данной леммы на ряд предложений.
Предложение 1.4.3. Существует такое изоморфное вложение ф пространства Win1,der(./*) в пространство всех линейных функционалов, заданных на пространстве [J*, J], что (/(d), [/, a]} = (/d,a) для любых / Е «7*, а Е / и d Е Wintder(«7*). Если коалгебра (J, А) конечномерна, то ф является изоморфизмом.
Доказательство. Пусть d — элемент из Wintder(J*) иг» — произвольный элемент из [<7*, «/]. Тогда если v = £[/», а;], то определим

Л А А
функционал d на [J*, J], положив (d, г;} = £(/Д,а;}. Покажем, что d

задан корректно. Действительно, пусть и — такой элемент из [«/*, J],
что и = V и и = М- Пусть В — подкоалгебра из (А, А), поро-

жденная всеми элементами а, и Ъг Тогда В — конечномерна
как d Е Wintder(J*), то существует элемент i из IntDer(J*) такой, что
(/d, 6} = (fi, b) для любых / Е J* и 6 € П. Поскольку i = £[6fc, е*], где

Äfc, efc С J*, то
(d,v) = £a*) = EEUbCtW = ЕЕ(еьЫ/»а>])
t г A: i к
— Е(е*,М) = Е(еАо hku) — Е E(6,j['fcdfc]) ЕМЛ) = (d5U)-
А: к j к j