Бесконечные группы подстановок и группы автоморфизмов 2-однородных линейно упорядоченных множеств

• Автор: Рабинович, Евгений Бейришевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 103 c. : ил

ОГЛАШЕНИЕ
.едение

ива I. О отроении бесконечной симметрической группы

§ X. Задача В.Скотта о расщеплении симметрических групп... 21 § 2. Среди композиционных факторов бесконечной симметрической группы изоморфных нет

§ 3. Вложение надгрулп знакопеременной группы в ограниченные симметрические группы

[ава 2. Теоремы вложения для бесконечных симметрических

групп

§ 4. Теорема о стабилизаторе транзитивной подгруппы

£(у, л) , которая изоморфна ЗМ/ЗСг.м)

§ 5 Убывающие полные ультрафильтры и теоремы вложения

для ограниченных симметрических групп

§ 6. Прямые пределы симметрических групп и универсальные
группы
1ава 3. 2-транзитивные группы автоморфизмов линейно упорядоченных множеств
§ 7. Предварительные результаты о 2-транзитивных группах
автоморфизмов линейно упорядоченных множеств
§ 8. Нормальные делителя 2-транзитявной группы автоморфизмов линейно упорядоченного множества
§ 9. 2-однородные линейно упорядоченные множества с изоморфными группами автоморфизмов
ятированная литература

Целью настоящей работы является исследование бесконечных сим-ютрических групп и их аналогов среда групп автоморфизмов линейно порядоченных (л.у.) множеств. Такими аналогами являются группы [втоморфизмов так называемых 2-однородных л.у. множеств.
Пусть оС, Д... - бесконечные кардинальные числа, ©1+ - следуйте за еС кардинальное число, и) - первый бесконечный кардинал, '.ормальное строение бесконечной симметрической группы £(х) отзывает следующая теорема, доказанная Уламом, Шрейером [69] в счётом и Бэром [26] в общем случае: инвариантные,(нормальные)и суб-ормальные подгруппы группы ЫХ) исчерпываются членами следующе-1о ряда:
е 4 А(Х)<Б(Х,ш)<... <£(х,/х/)<£{х) ,(1)
де А(х) - знакопеременная группа на бесконечном множестве X ,
сдвигает меньшее и элементов множества. х}, 1x1 - мощность множества X . В дальнейшем Маурером [57] ,
иландтом [83] (доказательство Виландта приведено также в книге лоткина ре] ), Скоттом [71] , Бертрамом [зо] были опубликова-ы различные доказательства этой теоремы. Композиционные факторы яда (I) исследовались Каррасом и Солитером [Ъз]] . Они доказали,
то группа ЭДМ М) ни при каком и< М неизоморфна.группе (х^/зГх, , и поставили проблему: есть ли среди композиионных факторов бесконечной симметрической группы изоморфные?
В книге Скотта [71] поставлена более общая проблема: следует
, что и и М-/У/ ?
Скотт [71] также доказал, что группы 3(к*) и 3(х) не явля-тся расщепляемыми расширениями группы финитных подстановок £(Х, со) ри помощи со) ( соответственно3(х)/3(Хг со) ) и поставил
опрос:

являются ли группы £(К^) л sfx) расщепляемыми расширениями руппы S(xt&) , /з<*с при помощи SM/S&t) (соответственно
S(x)/S(x,fi) )?
Ыаккензи (бі] доказат, что группа S(x)/sfx, М) не вклады-іается в группу S(X) , I.e. не является расщепляемьил расшяI єнием S(xJx/J при помощи sfx)/sfx, . Клер |32] несколько ■бобщил теорему Маккензи. Однако, его обобщение решает вопрос Скот-іа лишь в очень частных случаях.
Решению вопроса Скотта о расщепления симметрических групп и роблемы ICappaca, Солитера о изоморфизме композиционных факторов освящены соответственно § I и § 2 настоящей работы.
Используя обобщенную теорему СупрунЄНКО [is] о НераЗЛОйШГЛОСТИ ранзитивных подгрупп ограниченных симметрических групп и теорему аккензи [61] о невлохшмости S(x)/S(X, /X/) В Sfx) , доказывается.
Предложение 1.4. Группа S(y)/S(¥, /У/) не вісладьтается в
рулпу з(К/УҐ) ни при каком X
Из этого утверждения и выводится окончательное отрицательное ешеняе задачи Скотта о расщеплении бесконечных симметрических рупп.
Теорема 1.5. Группы S(XM), S(x)
не являются расщепляемыми
асширениями группы
Пусть Р*+СХ)=І У*Х/ /У/4ьС} . Обозначим А" бак-

ор - множество Pct*(X) по отношению эквивалентности: у ~ Z ,
ели мощность симметрической разности этих подмножеств меньше cL
л X „
» очевидно, является структурой, в которой операции И , v ндуцируются соответственно пересечением и объединением подмножеств з Рег*(Х) . Действие подстановок из группы б(х) на элементах

пределяет представление группы sfx) автоморфизмами структуры / *

ричём ядром этого представления является подгруппа S (X, X)

зуществует над множеством мощности ft однородный убывающе юлный ультрафильтр.
Доказательство. Фиксируем орбиту С группы S(X,*) на множе-зтве рХ , для элементов которой т(0)-р> . Кадцая подстановка S eS(X.x сдвигает на глножестве С не более /Тез/ элементов ,см. доказательство предложения 5.1. ). Следовательно, если <^- -
тредельное кардинальное число, то любая подстановка из S(X, Пусть ^ - непредельный кардинал. Фиксируем произвольную
.тодстановку S£ S(X, *с) , сдвигающую ^ элементов Л . При доказательстве предложения 5.1. отмечалось, что S сдвигает на С столько же ультрафильтров, сколько S сдвигает на некоторой орбите Сs группы S(Tzs) на множестве ft T'as . Заметим, что орбита
Cs состоит из ультрафильтров, которые являются ограничениями на f’SS элементов из С , содержащих /'tS . При доказательстве теоремы 5.3. фактически установлено, что группа <5*6^ имеет на шоке стве рХ орбиту мощности /XI , состоящую из элементов, для которых ^(О) ~ ft , тогда и только тогда, когда или I) of(/Xf)>j.3 , или 2) с/ОХ!)*Р и над множеством мощности ft существует однородный убывающе cf(lXI) полный ультрафильтр. Причем, в случае I) любая орбита, для элементов которой/7?/^/ -ft имеет мощность /XI . Применяя это утверждение в нашем случае, получаем, что если cf(/T2sJJ~cf(<^)>fb , то подстановка S сдвигает на Cs элементов.
Если с/ (cL) < ft и над множеством мощности ft существует однородный убывающе ф*-) - полный ультрафильтр, то для доказательства существования вложения S(X,^lS(X^)—S(y,y.) достаточно рассмотреть действие группы. S(X, Л) на орбите СсрХ , элементы который являются убывающе с/(Л) - полными ультрафильтрами