Конечные группы с ограничениями на классы сопряженных элементов

• Автор: Голикова, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 71 с.

Оглавление
Введение
1 Конечные непримарные группы с однозначно порожденными нормальными подгруппами
1.1 Строение конечных непримарных (М)-групп
1.2 Критерий свойства (М) для непримарных групп
1.3 Общие свойства (М)-2~групп
1.4 (М)-2-группы с абелевыми подгруппами индекса два
и индекса четыре
1.5 Конечные (М)-2-группы класса нильпотентности два
2 Группы с равномощными централизаторами нецентральных элементов
2.1 Некоторые предварительные результаты
2.2 Группы класса нильпотентности три
2.3 Группы класса нильпотентности два
Приложение
Литература

Введение
Исследование конечных групп часто приводит к необходимости изучения конечных р-групп. В связи с этим знания о детальном строении р-групп могут быть полезны при решении различных задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2-групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.
Конечные р-группы являются весьма сложным объектом для изучения. С ростом п число р-групп порядка р” возрастает чрезвычайно быстро. Например, неизоморфных 2-групп порядка 2б уже более тысячи. Поэтому интерес представляет поиск и изучение тех классов р-групп, которые с одной стороны представляют интерес для теории конечных групп, а с другой стороны - поддаются детальному описанию.
Э.М. Жмудь в [3] ввел понятие А'М-групп и изучил некоторые их свойства. Этот класс групп связан с известным из теории представлений (см. [5] , [1]) понятием А~-сопряженности элементов группы С, где К - некоторое поле. Пусть характеристика поля К не делит порядок группы С. Тогда из А'-сопряженности элементов х и у группы б? следует, что х сопряжен с уа, а взаимно просто с у. Если при этом поле К алгебраически замкнуто, то А-сопряженность эквивалентна обычной сопряженности элементов. Если А - поле действительных чисел, то А'-сопряженность элементов х и у равносильна сопряженности х с у или у~1.
А'-сопряженность элементов х и у всегда влечет равенство их нормальных замыканий. Обратное, вообще говоря, неверно.
Определение. (Э.М. Жмудь [3]) Конечная группа (? назы-

вается КМ-группой, если из равенства нормальных замыканий (хс) — (у°) следует К-сопряженность элементов х и у.
Другими словами, если нормальная подгруппа порождается элементом х, то этот элемент »в КМ-группе определяется однозначно с точностью до А'-сопряженности. Характеризацию КМ-групп дает следующая теорема, доказанная в [3].
Теорема (Э.М. Жмудь). Конечная группа Є тогда и только тогда является КМ-группой, когда каждая ее нормальная подгруппа является ядром гомоморфизма не более одного (с точностью до эквивалентности) неприводимого линейного представления группы Є над полем К.
Для полей К характеристики нуль наиболее широким классом КМ-групп являются СМ-группы (С) - поле рациональных чисел), ЯМ-группы вкладываются в этот класс (А - поле действительных чисел), СМ-группы содержатся в любом классе А'М-групп (С - поле комплексных чисел). Будем называть СМ-группы (М)-группами.
Поскольку, по определению (М)-группы С, из (хс) = {у°) следует сопряженность х и у в С, то в (М)-группе порождающие каждой циклической подгруппы сопряжены. Но это означает, что (М)-группы содержатся в классе так называемых ф-групп, то есть в классе конечных групп для которых характер любого линейного представления над полем С принимает только рациональные значения.
Из [12] известно, что свойство быть (-группой эквивалентно условию: порождающие каждой циклической подгруппы сопряжены. Класс С-групп довольно широк и изучался многими авторами (см., например, [5], [17]).
Перечислим основные известные результаты об (М)-группах (см.[3], [8], [9]).
I. Всякая нетривиальная (М)-группа является либо 2-группой, либо расширением 3-группы при помощи нетривиальной 2-группы (последняя является (М)-группой).

Пусть для группы G(n) доказано, что Z(G(n)) = 2. Пусть
АДп + 1) = {«;|1 < j < 2n), А2(п + 1) = {aj2n +l Тогда для любого £ АДп + 1) (ai) и для любого с№ £ А2(п + 1)*, аW не лежит в Z(G(n + /)) и не лежит в Z(G(n + 1)), иначе получили бы противоречие предположением индукции для G(n). Но и никакое произведение не лежит в Z(G(n + 1)),
поскольку Ь2п(гг + 1)] = 1, а [а, Ь2п(п + 1)] не равно 1, где
62п(л + 1)
/2П /2п
О Туп
Итак,А(п + 1) П Z(G(n + 1)) = (аі).
Далее, для всякого Ъ Є В(п + 1), Ъ Є Z{G(n +1)) тогда и только тогда, когда Ъ = /2п+1 ,т. е. В(п + 1) П Z(G(n + 1)) = 1.
П последняя возможность: допустим, что z = ab Є Z(G(n + 1)), где а Є А(п + 1) {а), Ъ £ В(п + 1)*. Поскольку G(n +1) - (.М)-группа, то z = 2. Следовательно, [a, b] = 1. Но существует элемент &i £ В(п + 1) такой, что [a, bi] не равно 1. Это противоречит тому, что ab и b перестановочны с Ъ. Теорема доказана.
1.4 (М)-2-группы с абелевыми подгруппами индекса два и индекса четыре
Лемма 1.2 2-группа класса 2 является (М)- группой тогда и только тогда, когда каждый ее элемент сопряжен со своим обратным.
Доказательство. Необходимость сопряженности взаимнообратных элементов в (М)- группе очевидна. С другой стороны, в группе класса 2 для всякого элемента д множество {[рД]| Ь £ С} - подгруппа в (д°), но, по условию, д2 £ {[д,ЩН £ С}. Поэтому |(д°) : {[д,к]}г £ б}] = 2, то есть все элементы из (9°) {[д, Щ?1 £ С} сопряжены. Следовательно, С обладает свойством (М).