Производные категории эквивариантных когерентных пучков и когерентных пучков на стеках

• Автор: Елагин, Алексей Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
1.1 Краткое содержание диссертации
1.2 Основные результаты диссертации
1 Производные категории эквивариантных пучков
2 Косимплициальные категории и комонады
2.1 Косимплициальные конструкции
2.2 Комонады и комодули
2.3 Два способа задания данных спуска
2.4 Ограничение на подкатегории
3 Производная теория спуска
3.1 Допустимые подкатегории, полуортогональные разложения,
исключительные наборы
3.2 Когерентные пучки на схемах и стеках, их производные категории
3.3 Производная теория спуска для стеков
3.4 Морфизмы, обладающие свойством БСБТ
4 Скрученные эквивариантные пучки
4.1 Эквивариантные пучки
4.2 Функтор коиндукции для эквивариантных пучков
4.3 Скрученные эквивариантные пучки для конечных групп
4.4 Скрученные эквивариантные пучки для алгебраических групп

II Строение эквивариантных производных категорий
5 Явное построение полуортогональных разложений
5.1 Случай конечных групп
5.2 Случай исключительного набора из эквивариантных пучков
5.3 Случай исключительного набора из инвариантных пучков
5.4 Случай исключительного набора из инвариантных блоков
6 Спуск для полуортогональных разложений
6.1 Полуортогональные разложения для категории комонад
6.2 Спуск для полуортогональных разложений: накрытие схем
6.3 Инвариантность разложения относительно действия группы
6.4 Спуск для полуортогональных разложений: эквивариантные
категории
7 Явное описание компонент
7.1 Полуортогональные разложения для многообразий, обладающих инвариантным исключительным набором
7.2 Полуортогональные разложения для расслоений на проективные пространства
7.3 Полуортогональные разложения для раздутий
8 Примеры
8.1 Проективные пространства
8.2 Квадрики
8.3 Поверхности дель Пеццо
8.4 Многообразия Грассмаиа
А Доказательство предложения 2
В Доказательство предложения 2
С Публикации по теме диссертации

Глава 1 Введение
Работа посвящена исследованию производных категорий эквивариантных когерентных пучков на алгебраическом многообразии с действием группы.
Всякое алгебраическое многообразие (или, вообще говоря, схема) X снабжено пучком колец Ох- Среди всех пучков Ох-модулей когерентные пучки -наименьший класс, содержащий векторные расслоения и замкнутый относительно взятия ядер и коядер. На абелевых категориях когерентных пучков определены функторы, такие как прямой и обратный образ при морфизме р, дуализация, внутренний Нот, тензорное умножение. Все эти функторы, вообще говоря, не точны. Контролировать их точность можно с помощью соответствующих производных функторов Я1р,, Ljp*, £xt%, Тоц. Удобный способ говорить о неточных функторах на абелевой категории и производных от них функторов дают введённые А. Гротендиком понятия производной категории от абелевой категории и производного функтора от функтора между абелевыми категориями. В производных категориях уже нельзя говорить о точных последовательностях, ядрах и коядрах. Однако они обладают не менее замечательной структурой - структурой триангулированной категории, определённой Вердье. В отличие от абелевой ситуации, производные функторы Rp*, Lp*,£xt,Тог, определённые на производной категории, точные, т.е. согласованы с триангулированной структурой.
Производная категория когерентных пучков - важный инвариант алгебраического многообразия, отражающий его когомологические свойства. Описание этих категорий - одна из задач, составляющих суть изучения

Предложение 2.2.4. Пусть Т = (Т,є,6) - комонада на категории С. Если С - аддитивная категория и функтор Т аддитивен, то категория Су также аддитивна. Если С абелева, а Т точен слева, то Су также абелева.
Напротив, совершенно неясно, будет ли триангулированной категория Су, построенная по комонаде Т = (Т, є, 6), если функтор Т точен
на триангулированной категории С. Естественно попытаться определить триангулированную структуру на Су следующим образом.
Определение 2.2.5. Определим функтор сдвига на Су равенствами (Е, /і) [I] = (Е[1], /?[!]), /[1] = /[1]. Назовём выделенными в Су те треугольники (Е', Е) —> (Е, К) —> (Е",/і") —» (Е',/г/)[1], для которых Е' —» Е —» И" —+ Е'[1] является выделенным треугольником в С.
К сожалению, операция взятия конуса в С не функториальна, поэтому без дополнительных предположений нельзя проверить, что любой морфизм в Су дополняется до выделенного треугольника. Однако в некоторых случаях получается, что данное выше определение действительно вводит триангулированную структуру на Су] если это так, то мы просто будем говорить, что категория Су триангулированна (имея при этом ввиду, что триангулированная структура такая, как была определена выше). Позже (предложение 2.2.13) мы увидим, что Су является триангулированной при некоторых условиях: фактически, мы покажем, что Су эквивалентна (как абстрактная категория) некоторой триангулированной категории.
Следующее утверждение показывает, что конструкция Эйленберга-Мура даёт конечный объект среди всех сопряжённых пар, определяющих одну и ту же комонаду.
Предложение 2.2.6 (Теорема сравнения). Пусть комонада Т = (Т,є,5) 7іа категории С определена парой сопряжённых функторов Р*: В —> С, Р%: С —*
В. Тогда существует единственный (с точностью до изоморфизма) функтор (называемый функтором сравнения) Ф: В —> Су, для которого диаграмма