Разложения и автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей

• Автор: Богопольский, Олег Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 142 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Конечно порожденные группы со свойством
М. Холла
§1.1. Условие N
§ 1.2. Граф групп и его фундаментальная группа
§ 1.3. Нормализаторы подгрупп фундаментальных
групп графов групп
§ 1.4. Некоторые соглашения
§ 1.5. Комплекс К(С,Г)
§ 1.6. Окрестности комплекса К(&, Г) и их накрытия
§ 1.7. Л-компоненты
§ 1.8. Лемма о вложении
§ 1.9. Теорема о свободных подгруппах
почти свободных групп
§ 1.10. Характеризация конечно порожденных
холловых групп
§ 1.11. Алгоритм, выясняющий холловость
конечно порожденных почти свободных групп
§ 1.12. Контрпример к гипотезе Бруннера и Бернса
Глава 2. Проблема автоморфной сопряженности подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей
§ 2.1. Некоторые классические теоремы о гомеоморфизмах поверхностей и автоморфизмах их фундаментальных групп
§ 2.2. Минимальные представители замкнутых кривых
на поверхностях
§ 2.3. Эффективное построение ядер накрытий,
соответствующих конечно порожденным подгруппам

§ 2.4. Реализация конечно порожденных подгрупп
несжимаемыми подповерхностями
§ 2.5. Доказательство основной теоремы
Глава 3. Разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей в свободные конструкции
§ 3.1. Определения геометрических разложений
§ 3.2. Построение негеометрических разложений группы
к{Тд1х) в свободное произведение с объединением
§ 3.3. Критерий геометричности свободного произведения
с объединением
§ 3.4. Критерий геометричности НКПМ-расширения
§ 3.5. Почти геометричность представлений группы лДТ, х) в
виде фундаментальной группы конечного графа групп ... 97 § 3.6. Реберная жесткость
Глава 4. Классификация автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек
§ 4.1. Основные определения, обозначения и леммы
§ 4.2. Геометрическая интерпретация равенства а(ю) = гг
§4.3. Доказательства теорем
Глава 5. Гиперболические группы, сети
и билипшицева эквивалентность
§ 5.1. Основные определения и теоремы
§ 5.2. Тупики в группах
§ 5.3. Лемма о почти продолжениях геодезических
§ 5.4. Конструкции
§ 5.5. Разделенные сети в гиперболическом пространстве ШР
Литература

ВВЕДЕНИЕ
1. Обзор проблем и результатов
Группа называется разложимой, если она представляется в виде фундаментальной группы нетривиального редуцированного графа групп [58, 12]. Такое представление называется разложением группы. Согласно теории Басса - Серра, группа разложима тогда и только тогда, когда она действует без общей неподвижной тонки на некотором дереве [58].
Исследование разложений групп и связанных с ними действий групп на И-деревьях - одна из важных задач комбинаторной теории групп. Разложения групп позволяют лучше понять строение их подгрупп [58], а в случае гиперболических групп - изучить динамику и классифицировать их автоморфизмы, а также выяснить строение групп автоморфизмов этих групп (см. обзор Бествины [13], а также работы [15, 52, 55, 57]).
Истоки многих идей и методов исследования разложений групп находятся в топологии. Отметим здесь теорему Зейферта - ван Кампена, теорию Столлингса концов групп, теоремы об алгебраическом торе и о ДБЕразложении групп (Рипс, Села, Данвуди, Сагеев, Свенсон, Па-пасоглу и Фудживара). Далее мы говорим только о тех разложениях, в которых реберные группы конечно порождены.
В тех случаях, когда группа имеет ярко выраженное геометрическое происхождение, естественно спросить
1) всякое ли ее разложение геометрично?
2) как связаны произвольные разложения с геометрическими?
Мы отвечаем на эти вопросы для фундаментальных групп замкнутых (то есть компактных и без края) поверхностей, понимая под геометрическим разложением такое, которое индуцируется разбиением поверхности на подповерхности. Формальные определения приводятся ниже. Оказывается, не все разложения таких групп геометричны

Правило склейки накрывающих окрестностей следующее. Для каждого ребра 6 Г+ возьмем с1/тах{Уау) |, 1} экземпляров окрест-
ностей 0{уаи) и 0(Уиу) и склеим их таким образом, чтобы
а) в процессе склейки участвовали только две ручки с меткой ,1) из каждого экземпляра окрестности 0{уац) (они есть ввиду выполнения условия 7Z) и две ручки с меткой (е+, 1) из каждого экземпляра окрестности О(Гцд);
б) склейка проходила бы по схеме связного двудольного графа валентности 2 (см. сплошную линию на рис. 1.3).
Затем склеим произвольно оставшиеся ручки с метками (е~,1) и (е+,1) всех с1 /1УаЦ) | экземпляров окрестностей 0(уаф) и всех /|К>У)| экземпляров окрестностей 0(К,(л) (см. пунктирную линию на рис.
1-3).
01%,)

В результате получим связный комплекс X и -листное накрытие р : (Х,х) —У (К(0, Г), «о), индуцированное накрытиями окрестностей. Группа Г1 = р*(тгі(Х,х)) является подгруппой индекса <1 в группе 7Гі(іДС,Г),г>о) — С. Докажем, что Г1 - свободная группа ранга п. Для этого стянем в X тела окрестностей 0(У{) в точки, а трубки в отрезки. В результате получится граф А, гомотопически эквивалентный X. Пусть V - число вершин графа А, Е - число его геометрических ребер. Тогда
2) Пусть в графе Г имеются ребра - петли. Этот случай разбирается аналогично случаю 1. Укажем лишь изменения в определении