Первичный радикал классических групп над ассоциативными кольцами

• Автор: Голубков, Артём Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 с.

Содержание
Введение
1 Предварительные сведения
1.1 Первичный радикал групп
1.2 Кольца с инволюцией
1.3 Теорема Голубчика—Михалёва
1.4 Элементарные подгруппы унитарной группы над кольцом с инволюцией
1.4.1 Ортогональная группа над кольцом с инволюцией
1.5 Нётеровы и Р 1-кольца
1.6 Системы корней
1.7 Конечномерные полупростые алгебры Ли
1.8 Группы Шевалле
1.8.1 Группы Шевалле и аффинные алгебраические группы
1.8.2 Центральные расширения
1.9 Аффинизация конечномерной алгебры Ли
1.10 Аффинные группы Шевалле
2 Первичный радикал унитарной группы над кольцом с инволюцией
3 Первичный радикал присоединённой группы Шевалле
4 Первичный радикал группы Шевалле над коммутативным кольцом
5 Первичный радикал аффинной группы Шевалле над коммутативным кольцом

Введение
Начинал с тридцатых годов, теория обобщённых разрешимых и нильпо-тентных групп активно и углублённо развивается во многих направлениях, среди которых заметную роль играет теория радикалов. Понятие радикала в теории групп, пережив ряд редакций, окончательно оформилось к началу шестидесятых годов в определении, предложенном А. Г. Курошем в работе [8]. Почти в это же время А. Г. Курош обратил внимание на замечательную аналогию между разрешимыми нормальными подгруппами и нильпотентными идеалами, позволившую его ученику К. К. Щукину ввести определение первичного радикала групп (см. [13]).
В отличие от наиболее часто используемого локально нильпотентного радикала (см. [10, 11]), характеризация первичного радикала группы как множества строго энгелсвых элементов крайне близка к его кольцевому прототипу, давно и успешно применяемому в теории ассоциативных колец и алгебр. В связи с этим вполне естественно возникает вопрос о соотношении между первичным радикалом кольца с 1 и первичным радикалом подгрупп группы его обратимых элементов. Первый положительный ответ на него был получен A.B. Михалёвым и И. 3. Голубчиком в теореме о первичном радикале линейной группы над ассоциативным кольцом, ставшей отправной точкой данного исследования.
Диссертация ставит своей целью вычисление первичного радикала:
1. для расширений элементарных подгрупп в унитарной группе над ассоциативным кольцом с инволюцией,
2. для расширений элементарной группы Шевалле, построенной при помощи присоединённого представления конечномерной простой алгебры Ли над ассоциативным кольцом,
3. для аффинной групповой схемы Шевалле — Демазюра над коммутативным кольцом,
4. для бесконечномерных аналогов элементарных групп Шевалле, соответствующих нескрученным аффинным алгебрам Каца — Муди.

Используются методы и результаты структурной теории колеи, теории классических групп над ассоциативными кольцами, теории алгебраических групп и аффинных схем, теории конечномерных и бесконечномерных алгебр Ли.
Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
# в каждом из рассматриваемых случаев 1-4 получено описание первичного радикала соответствующей группы в виде центра по первичному радикалу кольца коэффициентов (теоремы 2.0.1, 2.0.3, 2.0.4, 3.0.5, 4.0.6 и 5.0.7),
• установлены критерии существования максимальной разрешимой нормальной подгруппы (разрешимого радикала) (теорема 2.0.2, следствия 2.0.3, 3.0.5, 4.0.7, 5.0.8).
Отметим, что доказанные результаты близки по характеру к структурным теоремам в терминах идеалов для линейных групп и групп Шевалле, хотя последние требуют, как правило, значительно больших ограничений на используемое кольцо коэффициентов (см., например, [15, 6, 31, 32]).
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в алгебраической А-теории, в теории классических групп и групп лиевского типа над ассоциативными кольцами.
Результаты настоящей работы докладывались на международной алгебраической конференции, посвящённой памяти А. Г. Куроша (Москва, май 1998 г.), на международном алгебраическом семинаре, посвящённом 70-летию кафедры Высшей алгебры МГУ (Москва, февраль 1999 г.), на семинаре по алгебре кафедры Высшей алгебры под руководством проф. А. И. Кострикина на механико - математическом факультете МГУ (“Ломоносовские чтения”, апрель 1999 г.), на семинаре “Теория колец” кафедры Высшей алгебры под руководством проф. В. Н. Латышева, проф. А. В. Михалёва и проф. В. А. Артамонова.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце библиографии [33, 34, 35].
Диссертация состоит из введения и пяти глав. Текст диссертации изложен на 123 страницах. Список литературы содержит 35 наименований.

Глава
Первичный радикал унитарной группы над кольцом с инволюцией
Лемма 2.0.1. Пусть й — кольцо с 1, 1/2 и 1/3. Предположим, что в кольце И существует, система элементов {*ч;}: .щчщ причём ец + в22 = 1, е^е^п = 5^ец при всех I, /, к, п. Тогда для группы В такой, что
Е(Щ = (1 + ецгеи | 1 < г ф j < 2, г е Я) С В С ОЦЩ ,
имеем: гай (В) = С(В,1 + 11ас1(1?)). В частности, если К = МгЦ), где Т — коммут,ат.ивная область целостности, Т ф Еа, Ез. В — подгруппа СЬ^фГ) такая, что Е^Т) = ] 1 < г ф ] < 2, в £ Г) С В, тогда
га<а (В)=С(В).
Доказательство. Отметим, что идемпотенты {е,-;} плотны в кольце В. Поэтому подкольцо, порождённое элементами Е(Й), содержит все компоненты пирсовского разложения Й. по системе {сц, 622} (для произвольных г ф / в него входят подкольца е;,Яе3у, ецйец = ецйе^йец) и совпадает с кольцом й. Поэтому
С(В) С ОЦг{й)), С'(В, 1 + 11ас1(Д)) = В П С(й, Пай(Я)).
Для произвольного / <1 й ограничение гомоморфизма й —> й/1 на Е(й) индупирует эпиморфизм Е(й) —> Е(й/1). Таким образом, с учётом замечания 1.3.1, 1.3.2, мы без ограничения общности можем считать кольцо й первичным.
Предположим, что в первичном кольце й с 1/2, 1/3 гас1(В) ф С (В). В силу замечания 1.1.2, в этом случае В содержит нормальную подгруппу А такую, что А 2 С (В), [А, ,4] С С{В) С г (В).
Пункт 1. Пусть а 6 АС(В), (а),, — нормализованная Е(Т>) циклическая подгруппа (а). Покажем, что в (а),, С(В) существует элемент а такой, что [вь 1 + сцг'-д] = I для всех г £ й.