Арифметические задачи с числами, все простые делители которых принадлежат специальным множествам

• Автор: Чанга, Марис Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

Обозначения

ГЛАВА 1. Вспомогательные утверждения

ГЛАВА 2. Оценки тригонометрических сумм

по специальным простым числам

ГЛАВА 3. Арифметические задачи со

специальными простыми числами

ГЛАВА 4. Суммирование мультипликативных

функций по числам, имеющим только специальные простые делители

Литература

Обозначения
с, сі,С2,... — положительные постоянные, в различных формулах, вообще говоря, различные.
є — положительная сколь угодно малая постоянная.
р — простое число.
log а; — натуральный логарифм х.
Л(п) — функция Мангольдта — равна logp, если п — рк, и равна нулю в противном случае.
ф(х) — функция Чебышёва — сумма значений Л(п) по п, не превосходящим х.
7г(х) — количество простых чисел, не превосходящих X. я(хк,1) — количество простых чисел, не превосходящих X и сравнимых с I по модулю к.
Запись d | п означает, что п кратно d.
Запись а = b (mod т) означает, что т | Ъ — а. р(п) — функция Мёбиуса — равна единице при п — 1, равна нулю, еслир2 | п, и равна (—1)к, если п есть произведение к различных простых чисел.
р„,(п) равна единице, если п свободно от т-х степеней, и равна нулю в противном случае.
Запись А -С В означает, что |Л| ^ сВ.
Запись Ах В означает, что с.В ^ А ^ С2В. ip(n) — функция Эйлера — количество натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с ним.
Тк(п) — число решений уравнения х ...хц = п в натуральных числах xi Xfc, причём то(1) = 1 и то(п) = 0 при п > 1. т(п) = 72(71) — число натуральных делителей п.
(oi ап) — наибольший общий делитель чисел а,... ,ап.
[oi ап] — наименьшее общее кратное чисел а ап. х(п) — характер Дирихле по модулю q, причём случаю q = 1 отвечает тривиальный характер, тождественно равный единице.
[а] — целая часть а — наибольшее целое число, не превосходящее а.

{а} = а — [а] — дробная часть а.
||а|| = тш({а}, 1 — {а}) — расстояние от а до ближайшего целого числа.
в = а + й — комплексное переменное, но лишь в тех случаях, когда речь идёт о функциях комплексного переменного.
Г(з) — гамма-функция Эйлера.
С(й) — дзета-функция Римана.
(|) — символ Лежандра — равен +1, если а есть квадратичный вычет по модулю р, равен —1, если а есть квадратичный невычет по модулю р, и равен нулю, если а делится на р.

причём сомножители в правой части взаимно просты. В силу мультипликативности функции Эйлера
<4[44, 44Г) = ¥>([<*!. • • • - 4П • <р([4, - • •, 4ПБесконечность множества решений системы р + / = 0 (тос1(фо'')га), г = 1 Л;, означает бесконечность множества решений системы р + 1{ = 0 (тобеф1), г = 1 к, и бесконечность множества решений системы р + / = 0 (тос1(4)т), i = 1,... ,к. Обратно, если множества решений последних двух систем бесконечны, а это множества простых чисел, лежащих в некоторых арифметических прогрессиях с разностями [4, •••,4]”* И [4, • • • , 4]т> Т0 бесконечно и множество простых чисел, лежащих в пересечении этих двух арифметических прогрессий, так как их разности взаимно просты. Следовательно, множество простых чисел, удовлетворяющих обеим системам одновременно, бесконечно, а каждое такое простое число, очевидно, удовлетворяет системе р + и = 0 (тос1(Ф4)т)> * = 1, ■ ■ •, ибо (4,4) — 1- Вспоминая определение функции ё(4>..., 4)> получаем, ЧТО
£(44> ■ • • 144) * * • 14) * 44» * • * > 4)-
В этих рассуждениях мы существенно пользовались результатами теории сравнений (лемма 17). Из доказанного следует, что
/(44. •••>44) = /(4, •••,4) -/(4. ■••>4)
при (ф, 4) — 1 Для любых 1 ^ г,
Согласно многомерному тождеству Эйлера (лемма 20) получаем для повторного ряда 5 выражение
оо оо
5 = П Е-Елл--^)-
р 1/1=0 1/*
Легко видеть, что /(1 1) = 1. Кроме того, если хотя бы одно из чисел щ больше единицы, то /(/Л1 рУк) обращается в нуль за счёт функции Мёбиуса. Если число делится нар и соответствующее ему щ больше нуля, то /(р"1 р1'к) обращается в нуль