Полукольцевые объединения кольца и полутела

• Автор: Лукин, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Киров
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Расширения полуколец
§1. Исходные определения и примеры
§2. Расширения полуколец
§3. Объединение кольца и полутела
Глава 2. Строение полукольцевого дизъюнктного объединения
§4. Строение кольца
§5. Строение полутела
§6. Единственность полукольцевого дизъюнктного объединения
Глава 3. Свойства полукольцевого дизъюнктного объединения
§7. Гомоморфные образы ЕйН
§8. Конгруэнции на полукольцевом дизъюнктном объединении
§9. Полукольца с обратимой суммой обратимых элементов
Литература
Предметный указатель

Введение
Диссертация посвящена изучению полукольцевых дизъюнктных объединений колец и полутел - класса полуколец с единицей, состоящих из непересекающихся кольца и полутела.
Общая теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия и является активно развивающимся разделом современной алгебры. Пример полукольца идеалов кольца с операциями сложения и умножения идеалов можно найти уже в работе Дедекинда [34]. Теория полуколец находит применение в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, дискретной математике, теории оптимального управления и других разделах математики [16, 36, 38]. Ей посвящены монографии Голана [36, 37], Хебиша и Вайнерта [38]. Обширный библиографический список по полукольцам представлен в обзоре Глазека [35]. Отметим работы российских математиков: Е.М. Вечтомова [6, 7], И.И Богданова [3, 4], А.Н. Семенова [20, 19], В.В. Чермных [31, 32], С.Н. Ильина [12, 13], О.В. Старостиной [24, 25]. Систематическим изучением полуколец непрерывных функций занимаются Е.М. Вечтомов и его ученики. Результаты их исследований отражены в кандидатских диссертациях [21, 17, 18, 33].
Впервые строгое определение полукольца дано Вандивером [40].
Полукольцом называется алгебра (5, +, , 0} с двумя бинарными операциями сложения + и умножения . При этом (Д +,0} - коммутативный моноид, (Д } - полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон, 0 з = а 0 = 0 для любого элемента в из Б. Полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полуте-лом с нулем. Если из полутела Э с 0 исключить 0, то получим структуру

(S',+, ), которую будем называть полутелом.
Класс полуколец содержит такие хорошо известные алгебраические объекты как ассоциативные кольца, ограниченные снизу дистрибутивные решетки, ряд числовых систем, а также полутела с нулем. Для получения новых классов полуколец естественным является исследование полуколец, сводящихся к указанным типам полуколец: кольцам, ограниченным снизу дистрибутивным решеткам и полутелам с нулем. В [36] дается описание полуколец, являющихся подпрямым произведением некоторых кольца и дистрибутивной решетки. Работы [8, 10, 24, 25] посвящены изучению абелево-регулярных положительных полуколец, строение которых однозначно определяется дистрибутивной решеткой идемпотентов L(S), полутелом обратимых элементов U(S) и каноническим антигомоморфизмом L(S) —> ConU(S), где ConU(S) - решетка конгруэнций полутела U(S).
Важным подходом к исследованию структуры полуколец является представление полуколец в виде расширений полуколец из более хорошо изученных классов.
Полукольцо S называется 0-расширением полукольца К с помощью полукольца Т, если на S существует такая конгруэнция р, что К = [0]р и S/p = Т. Полукольцо 5 с единицей называется 1-расширением полукольца К, возможно без нуля, с помощью полукольца Т, если на S существует конгруэнция а, для которой S/a = Т и К = [1]а.
Е.М. Вечтомов в [5] доказал, что любое полукольцо S является 0-расширением кольца с помощью положительно упорядоченного полукольца. Любое абелево-регулярное положительное полукольцо S является 1-расширением полутела обратимых элементов U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки [8]. В работе А.Н. Семенова [20]
Доказательство. Любой элемент множества Т = Я + СД представим в виде г + д, где д 6 (5+, г £ 12. Два элемента Г1 + д и г2 + д равны тогда и только тогда, когда г — г2 + д = д 4Ф д-1 — г2) + 1 = 1. Значит из замечания 4.1 вытекает гх + д = г2 + д, что равносильно П — 2 + 1 = 1- С другой стороны, если для некоторого элемента г £ Я выполняется г + 1 = 1, то для любых д £ С3+,г € Я справедливо г + г + д = г + д. Таким образом, элементами полутела Т являются классы д х (11/1), где I = {г £ АппЯ : г + 1 = 1}. Далее, множество (О х Л) и ((Я/1) х СД)) с операциями (гх, дх) + (г2, д2) = (гх + г2, дх + д2) и (п, дх)(г2, д2) = (гхг2 + гхд2 + дхг2, дхд2), где I - произвольный идеал аннулятора АппЯ с делимой аддитивной группой, является полукольце-вым диз'ьюпктным объединением. Сложение класса факторкольца Я/1 с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца.
Выясним строение полутел входящих в полукольцевое дизъюнктное объединение с данным радикальным по Джекобсону кольцом Я, аддитивная группа которого - делимая группа без кручения.
Если рассматривать кольцо Я, как модуль, для которого само же Я является областью левых операторов, то правые эндоморфизмы д этого модуля определяются, как такие отображения Я в себя, что (а + Ь)д — ад + Ьд; (аЬ)д = а(Ъд),Уа,Ъ £ Я. Правые модульные эндомоморфизмы с операциями - поточечным сложением и умножением - композицией образуют кольцо ЕпйЯ). Таким же образом, с условием д(а + Ь) = да+дЪ] д(аЪ) = (да)Ь,/а, Ъ £ Я, можно определить левые гомоморфизмы левого модуля Я над самим собой, которые образуют кольцо Епй(Яя).
Рассмотрим подмножество Я(Я) прямого произведения Еп(1(вК) х