Спектры конечных классических групп

• Автор: Бутурлакин, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 64 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Циклическое строение максимальных торов
§ 1.1. Обозначения и предварительные результаты
§ 1.2. Линейные и унитарные группы
§ 1.3. Симплектические группы
§ 1.4. Ортогональные группы в нечетной характеристике
§ 1.5. Ортогональные группы в характеристике
Глава 2. Спектры классических групп
§ 2.1. Предварительные сведения и результаты
§ 2.2. Линейные и унитарные группы
§ 2.3. Симплектические группы
§ 2.4. Ортогональные группы
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Постановка задачи и актуальность темы диссертации.
Теорема о классификации конечных простых групп позволяет свести многие проблемы теории конечных групп к изучению простых групп. Этот переход основан на теореме Жордана — Гельдера, согласно которой любая конечная группа имеет субнормальный ряд с простыми факторами. В связи с этим изучение простых групп является одним из важнейших направлений современной теории конечных групп.
Одной из естественных характеристик конечной группы является ее спектр. Спектром w(G) конечной группы G называется множество порядков ее элементов. Необходимость в информации о спектре группы возникает при решении многих задач теории групп. В частности, изучение спектров групп необходимо при решении проблемы распознаваемости группы по спектру. Конечная группа G называется распознаваемой по спектру, если для произвольной конечной группы Н из равенства ш(С) = ш(Н) следует, что группа Н изоморфна G. В [12] В. Дж. Ши заметил, что группа с нетривиальным разрешимым радикалом нераспозпаваема по спектру. Поэтому вопрос о распознаваемости представляет наибольший интерес для простых и почти простых групп. Обзор результатов по проблеме распознаваемости можно найти в работах В. Д. Мазурова [1] и М.А. Гречкосеевой, A.B. Васильева,
В. Дж. Ши [9].
Согласно классификационной теореме любая неабелева простая группа является либо знакопеременной группой, либо конечной простой группой лиева типа, либо одной из 26 спорадческих групп. Спектры спорадических групп известны (см., например, [8]). Поскольку любой элемент знакопеременной группы раскладывается в произведение независимых циклов, задача описания спектров этих групп не представляет особого труда. Группы лиева типа делятся на классические и исключительные группы лиева типа. Для исключительных групп есть описание классов сопряженных элементов, из которого может быть получено описание спектров этих групп. Нерешенной остается задача описания спектров групп из наиболее обширного класса простых групп — класса конечных простых классических групп лиева типа. Диссертация посвящена решению этой задачи.
Поскольку спектр группы G вместе с каждым своим элементом содержит все
Введение

его делители, он однозначно задается множеством /Д(3) своих максимальных по делимости элементов, а также любым множеством для которого выполнены включения р.(б) С г/(С) С ш(С!).
Пусть С — конечная группа лиева типа над полем характеристики р. Спектр группы (? может быть представлен как объединение трех подмножеств: подмножества Шр(С?) порядков всех уннпотентных элементов, т. е. элементов, чей порядок является степенью числа р множества ау (б) порядков всех полупростых элементов, т. е. элементов, чей порядок взаимно прост с р; и множества шт(<3) порядков элементов смешанного типа, т. е. элементов, чей порядок делится на р, но не является степенью числа р. Таким образом, задача описания спектра конечной группы лиева типа распадается на три подзадачи. Многие авторы изучали максимальные порядки уннпотентных элементов. Итоговой в этом направлении является работа Д. Тестсрмаи [13], в которой содержится арифметический критерий принадлежности степени числа р множеству шр(С) для всех конечных простых групп лиева типа.
Описание полупростой части спектра, изложенное в диссертации, основано на том, что любой полупростой элемент группы лиева типа содержится в подгруппе специального вида, называемой максимальным тором. Понятие максимального тора пришло в теорию конечных групп лиева типа из теории алгебраических групп. Пусть С — простая алгебраическая группа. Отображением Фробениуса группы б называется эндоморфизм а группы О такой, что группа неподвижных точек Са конечна и кегсг = 1. Пусть а — некоторое отображение Фробениуса группы С. Группа С, удовлетворяющая условию Ор'(Са) С (? С Са, называется конечной группой лиева типа (здесь Ор' (Са) обозначает минимальную нормальную подгруппу группы Са такую, что фактор-группа по ней является р'-группой). Максимальный тор в алгебраической группе — это максимальная связная диагонализируемая подгруппа. Максимальным тором конечной группы лиева типа С? называется подгруппа Т = ТаГ, где Т — некоторый ст-инвариантный максимальный тор группы
С. Поскольку максимальный тор группы С является конечной абелевой группой, он может быть представлен как прямое произведение циклических групп. Таким образом, для описания полупростой части спектра достаточно для каждого максимального тора данной группы С? указать некоторое его разложение в произведение циклических групп.
Доказательство теорем о смешанной части спектра в значительной степени опирается на методы, разработанные Р. В. Картером в [4] и [5]. Поскольку произвольный элемент д группы лиева типа б может быть единственным обра-
І; 2.1. Предварительные сведения и результаты

его централизатора Сд(5) является редуктивной подгруппой максимального ранга группы С. При этом подгруппа С-д(в)0 содержит я и все унипотентные элементы из 65(3). Следовательно, редуктивная подгруппа (Сз)0) группы С„ содержит з и все унипотентные элементы из Сд (я). Таким образом, наша задача свелась к следующей: для всех редуктивных подгрупп Н группы максимального ранга найти период центра и унипотентную часть спектра. В дальнейшем произведение периода центра группы Н и максимального элемента из шр{Н) мы будем обозначать через Г](Н).
Следующая лемма дает описание уиипотентной части спектра конечных классических групп лиева типа.
Лемма 2.1.1. Пусть С — конечная классическая группа над полем характеристики р. Тогда максимальная степень числа р, лежащая в равна рк, где
к — наименьшее натуральное число со свойством
1) рк > п — 1, если Є — линейная или унитарная группа размерности п;
2) рк > 2п — 1, если С — симплектическая группа разліерности 2п или ортогональная группа размерности 2п + 1;
3) рк > 2п — 3, если С? — ортогональная группа размерности 2п.
Доказательство непосредственно следует из [13, предложение 0.5].
В группе С существует сг-ипвариантный максимальный тор 5. Поскольку любые два максимальных тора группы С сопряжены, произвольная редуктивная группа максимального ранга сопряжена редуктнвпой группе, содержащей 6'. Пусть Ф — корневая система группы С относительно Б. Будем называть подмножество Фі системы Ф подсистемой, если оно само является системой корней. Подсистема называется аддитивно замкнутой если для любых г і, г-2 Є Фі из того, что Т1+Г2 Є Ф, следует, что Г1+Г2 Є Ф]. Для корня г Є Ф обозначим через IIг корневую подгруппу, соответствующую г. Редуктивные подгруппы группы С, содержащие тор £>, — это группы вида (5, Пг, г Є Фі), где Фі — некоторая подсистема в Ф. Если С — простая классическая алгебраическая группа, отличная от симплектической над полем характеристики 2, то система Фі редуктивной подгруппы всегда является аддитивно замкнутой подсистемой системы Ф. В случае симплектических групп над полем характеристики 2 подсистема Фі может не быть аддитивно замкнутой, одиако в этом случае имеет место изоморфизм вргп1) — й'Огп+ДЗ*), и подсистему Фі можно рассматривать как аддитивно замкнутую подсистему корневой системы ортогональной группы. В дальнейшем под термином "подсистема" подразумевается аддитивно замкнутая подсистема.
Пусть Єї — сг-инвариаптпая редуктивная подгруппа группы Є, содержащая 5.