Обобщенно равномерные произведения групп

• Автор: Пашковская, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 101 с.

Глава 1. Известные результаты и определение обобщенно равномерного произведения
§1.1. Известные результаты, определения и вспомогательные утверждения
§ 1.2. Определение обобщенно равномерного произведения
Глава 2. Свойства и примеры групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение
§ 2.1. Примеры групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение своих подгрупп
§ 2.2. Свойства групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение своих подгрупп
Глава 3. Изучение строения групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение
§ 3.1. Строение групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение, у которых силовские подгруппы являются элементарными абелевыми группами
§ 3.2. Строение р-групп, обладающих обобщенно равномерными автоморфизмами
§ 3.3. Строение групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение, у которых силовские подгруппы порождены элементами простых порядков
Список литературы

Актуальность темы. При изучении групп часто возникает вопрос о рассмотрении всех разложений данной группы (о возможных представлениях группы (7 в виде произведения собственных подгрупп). Общая задача описания строения групп с теми или иными ограничениями для тех или иных систем их подгрупп была сформулирована С.Н. Черниковым [21]. На этом пути были выделены многие важные классы групп, обогатившие конкретную базу теории групп.
Если группа разложима в произведение двух подгрупп, то последние обязательно перестановочны [8]. В следствии этого, часто рассматриваются группы, разложимые в произведение некоторого множества попарно перестановочных подгрупп. При этом на системы подгрупп-множителей накладываются различные условия. Группы, разложимые в произведение некоторого множества попарно перестановочных подгрупп, называют иначе группами, факторизуемыми этими подгруппами.
При изучении групп, разложимых в произведение попарно перестановочных циклических подгрупп, оказывается полезным введенное в 1964 году С.Н.Черниковым определение равномерного произведения групп (см., например, [20]): группа, разложимая в произведение некоторых своих подгрупп называется их равномерным произведением, если каждая циклическая подгруппа из произвольного множителя перестановочна с каждой циклической подгруппой любого другого множителя.
В 1964 году В.П. Шунков описал строение групп, разложимых в равномерные произведения своих подгрупп, и доказал теорему, дающую конструктивное описание таких групп [17, 18].
Дальнейшее развитие тема получила в работах В.Г. Васильева [3, 4, 5], где были описаны квазиполупрямые произведения (см. определения в § 1.1) циклических р-групп, а также найдены необходимые и доста-

точные условия двуступенной разрешимости строгих равномерных произведений (см. определения в § 1.1) циклических р-групп. В работах Г.А. Маланьиной [11, 12] изучены полупрямые произведения циклических групп.
В работе [7] Д.И. Зайцевым было введено определение слаборавномерного произведения (группа (5 называется слаборавномерным произведением подгрупп А и В, если С = АВ и подгруппы конечного индекса из А и В перестановочны между собой) и описаны группы, разложимые в слаборавномерное произведение двух полициклических подгрупп.
В диссертации обобщается понятие равномерного произведения и вводятся определения обобщенно равномерного произведения и строгого обобщенно равномерного произведения.
Определение. Группа С называется обобщенно равномерным произведением своих подгрупп i Е /, если: С7 = гр(<5* г Е I), где Сф — д,-подгруппы, и выполняются условия:
1) = Е I',
2) если обладает элементарной абелевой подгруппой Д; порядка > дф то Дг- перестановочна с любой нециклической элементарной абелевой подгруппой ИЗ Сд], i Ф
3) группа, порожденная всеми фу, не содержащими элементарных абелевых подгрупп порядка > д], является равномерным произведением подгрупп 6}].
Определение. Группа С называется строгим обобщенно равномерным произведением своих подгрупп <3;, г Е /, если: С = гр(<2г | г Е /), где (^1 — д^подгруппы, и выполняются условия:
1) (7 — обобщенно равномерное произведение подгрупп Qi, г Е /;
2) если в все элементарные абелевы подгруппы порядка ду, то любая циклическая подгруппа порядка ду из Qj перестановочна с любой элементарной абелевой подгруппой порядка д? из (г ф у).
Сначала рассматриваются примеры групп, разложимых в обобщенно

Доказательство. Пусть Т — элементарная абелева подгруппа порядка р3 из Р и элемент Ъ индуцирует обобщенно равномерный автоморфизм на подгруппе порядка Т.
Если Ь централизует Т, то лемма доказана. Пусть Ъ не централизует Т.
Рассмотрим два случая: а) д делит р — 1 и б) д делит р+1. Возможны только эти две ситуации, так как элемент Ь индуцирует обобщенно равномерный автоморфизм на группе Р. Следовательно, любая ее элементарная абелева подгруппа порядка > р2 должна быть (б)-инвариантна. Тогда, порядок элемента Ь должен делить порядок группы автоморфизмов элементарной абелевой группы порядка р2 (это случаи а и б) или порядок группы автоморфизмов циклической группы порядка р (это случай а).
а) Пусть <2 делит р — 1. Так как элемент Ь не централизует Т, то в Т найдется элемент £ порядка р, такой, что £ ^ Ср{Ь). Очевидно, элемент Ь можно вложить в элементарную абелеву подгруппу порядка р2 из Т: (£) х (ж). В силу того, что элемент Ь индуцирует обобщенно равномерный автоморфизм на группе Р, она будет (б)-инвариантной и элемент Ь эту подгруппу не централизует. Так как q делит р — 1, то в группе (£) х (х) можем выбрать таким образом элементы з и у, что (£) х (ж) = (я) х (у) и Ъ~1зЬ = 5Г1, Ь~1уЬ — уг2. Тогда вложим элементарную абелеву подгруппу порядка р2 в элементарную абелеву подгруппу порядка р3: (з) х (у) х (а). При этом можем считать, что Ь~1аЬ = аГз (предложение 16). Теперь сконструируем элементарную абелеву группу (а?;) х (а). Она также (б)-инвариантна, так как элемент Ь индуцирует обобщенно равномерный автоморфизм. Так как (а) является (Ь)-инвариантной, то выберем элемент г таким образом, что (ву) х (а) = (г) х (а) и подгруппа (г) также (Ь)-инвариантна. При этом, не нарушая общности рассуждений, можем считать, что г = ву-а. Тогда Ь~1гЬ = 2Г4, но, с другой стороны, Ь~1гЬ = Ь“1(йг' • а)Ь = зГ1уГ2аГз. Таким