Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр

• Автор: Череватенко, Ольга Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 69 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
1.1. Линейные алгебры и их многообразия
1.2. Необходимые сведения из теории представлений симметрической группы
Глава 2. О нильпотентных многообразиях алгебр
Лейбница
2.1. Некоторые многообразия алгебр Лейбница
2.2. Нильпотентные многообразия алгебр Лейбница
2.3. Нильпотентные многообразия в классе разрешимых
алгебр Лейбница
Глава 3. Многообразия алгебр Лейбница полиномиального роста
3.1. Примеры известных многообразий алгебр Лейбница
почти полиномиального роста
3.2. Многообразие алгебр Лейбница слабого роста
3.3. Критерий полиномиальности роста многообразий
алгебр Лейбница на "языке" диаграмм Юнга
3.4. Полный список многообразий почти полиномиального роста для класса алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом
Литература

Введение
Изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения тождественных соотношений является устоявшимся направлением исследований современной алгебры. Алгебры Ли с тождествами являлись предметом исследования уже в самом начале развития теории этих алгебр. Значительная часть изучаемых классов алгебр Ли выделяется по признаку выполнения (или невыполнения) некоторых тождеств. Таковы классы разрешимых, нильпотентных, свободных алгебр и некоторые другие. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений, называют многообразием линейных алгебр над заданным полем [24] или, в терминологии А.Г. Куроша, примитивным классом алгебр [21].
В данной диссертационной работе изложены те результаты теории многообразий алгебр Лейбница над полем характеристики ноль, которые относятся к вопросам роста и нильпотентности многообразий данных алгебр.
Алгебра Лейбница над некоторым полем — это неассоциативная алгебра, удовлетворяющая тождеству Лейбница(ху)г = (хг)у+х(уг), которое превращает правое умножение на элемент алгебры в дифференцирование этой алгебры. Это тождество эквивалентно классическому тождеству Якоби, когда выполняется тождество антикоммутативности. Тождество Лейбница позволяет представить любой элемент алгебры как линейную комбинацию левонормированных элементов. Отметим, что многие результаты, полученные для алгебр Лейбница, показывают, что алгебры Лейбница близки к алгебрам Ли, и естественны попытки обобщить некоторые результаты алгебр Ли на алгебры Лейбница. Все эти результаты вовлекают методы, основанные на теории представлений симметрической группы и общей линейной группы. Любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница.

Вероятно, впервые этот класс алгебр был определен в работе А.М.Блоха [7], а свое название получил позже. Алгебры Лейбница стали активно изучаться в начале 90-х годов. Они появились, для естественной связи с некоторыми темам такими, как дифференциальная геометрия, классическая алгебраическая топология, алгебраическая К-теория и т. д., для обобщения соответствующих приложений алгебр Ли к этим темам. Свободная алгебра Лейбница была описана Ж. Лодеем и Т. Пирашви-ли.
Однако, в "Encyclopaedia of Mathematics" мы обнаруживаем, что самого термина "алгебра Лейбница" в нем нет. Вместо этого используется термин "алгебра Лодея". Алгебры Лодея были введены под названием "алгебры Лейбница" как некоммутативные аналоги алгебры Ли. Термин "алгебра Лейбница" используется во всех статьях до 1996, и во многих последующих. Мы будем придерживаться термина "алгебра Лейбница" . Понятно, что аналогичный класс алгебр возникает и в случае, когда умножение слева является дифференцированием алгебры.
В случае поля нулевой характеристики хорошо известно, что любое тождественное соотношение эквивалентно системе полилинейных тождественных соотношений [25]. Поэтому в этом случае вся информация о многообразии содержится во множестве всех полилинейных элементов степени п от переменных xi,, хп, так называемых полилинейных частях, которые обычно обозначаются Рп, п — 1,2
Ai > Аг >, , числа п = Ai + А2 +
Доказательство. По условию, многообразие V не содержит многообразия В. Следовательно, пересечение V П В есть собственное подмногообразие многообразия В, а значит, согласно следствию из предыдущей теоремы, является нильпотентным. Тогда найдется такое целое т, что в пересечении данных многообразий выполнено следующее тождественное соотношение:
т0Ж1... хт = 0.
Поэтому, по модулю идеала тождеств многообразия V :
х0хх ...хт = '£, ах№+ £/?( жо )
где I— некоторое произведение образующих, содержащее как минимум два элемента, коэффициенты а, (3 принадлежат основному полю. Причем в слагаемых первой суммы образующая хо находится на первом месте, а вторая сумма состоит из элементов идеала многообразия В, где выделенная образующая расположена не на первом месте.
Подставим .то = у2, тогда слагаемые второй суммы равны нулю в любой алгебре Лейбница, а слагаемые первой суммы равны нулю в алгебрах многообразия ГчА. Итак, мы показали, что в многообразии V выполнено такое тождество
у2х 1... хт = 0. (*)
Утверждение доказано.
Замечание. Многообразие алгебр Лейбница ЗМхА, определяемое тождеством (Т1Т2) (Ж3Ж4) = 0, является разрешимым многообразием ступени 1. Оно подробно изучено в работе [52].
Пусть тс1 — некоторая таблица Юнга. Отождествим в элементе ещ (хХ2...хп) переменные, соответствующие одним и тем же строкам таблицы тй. После такого отождествления данный элемент можно представить в виде линейной комбинации элементов [(У1,У2, ,Угп)) каждый