Алгебраическая теория квазимногообразий коммутативных луп Муфанг

• Автор: Урсу, Василий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 207 с. : ил.

Содержание
L ВВЕДЕНИЕ
§1. Общая характеристика работы
§2. Необходимые понятия, замечания, обозначения я
предварительные результаты
IL ЭКВАДйОВАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
§3. Тождества нильпотентной'лупы Муфанг
§4. Многообразие КЛМ.имеет-ташшшй-базис тождеств
III. КВАЗИЭКВАЦИОНАЛЬНЫЕ -ТЕОРИИ
§6. ТКвазитекдества конечно порожденных кошотатнвных
Г . Луп-Муфанг г
§7. Квазптождества абсолютно свободной коммутативной луны
Муфанг
§8. Решетка квазимйогообразий наименьшего неассодиатнвного
многообразия коммутативрях,.яуп Муфанг
§9. Квазнмногообразня коммутативных'луп Муфанг
имеющих независимого базиса квазитождеств
§10. Решетка квазимногообразий 2-янльнотеншш:
коммутативных лун-Муфанг
§11. О некоторых решетках квазимногообразнй коммутативных 3-луп Муфанг 75
IV. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРИИ
§12. Об одном соответствии между тернарны?-«! кольцами и
коммутативными лупами
§13, Рекурсивная неотделимость множества тождественно истинных и множества конечно опровержимых формул некоторых здементарных: теоршімногообразіш ,77
V. ДОПОЛНЕНИЕ: АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ И ФИНИТНАЯ ОТДЕЛИМОСТЬ7РАЗРЕШИМЫХ..ДУН.. муфанг
§14. Разрешимость -уравнений в КЛМ-,.7
§15. О финитной отделимости разрешимых луп Муфанг
ЛИТЕРАТУРА

I. ВВЕДЕНИЕ
§i. Общая характеристика работы
Основы теории кб а зимного о бр азий были заложены А. И. Мальцевым в работах [М39, М40. 1М56, 2М56, М88, М67, М88], где неоднократно подчеркивал важность изучения свойств квазимногообразий алгебраических систем. Первый этап развития этой теории отражен в монографии А.И. Мальцева [М70], см. также обзор Д.М. Смирнова [Smi77], Особое положение квазимногообразий и, в частности, многообразий алгебраических систем объясняется многими причинами; среди них-отметим следующие.
Во-первых, активный интерес к языку тождеств и квазитождеств возник в результате решения конкретных задач алгебраических систем. Например, в 1939 г. А. И. Мальцев [М39] выписал условия погружаемости полугруппы в группы на языке квазитождеств. В свою очередь, в 1948 г. Маккинси [МсКМЗ] связал некоторые алгоритмические проблемы логики с финитной аппроксимируемостью в многообразиях и квазнмногообразиях. Здесь же отметим и знаменитую теорему7 П.С. Новикова [No55] о неразрешимости проблемы равенства слов.
Во-вторых, значительную роль в становлении теории многообразий и квазимногообразнй сыграли доклад Гаретта Биркгофа на Канадском математическом конгрессе [Bi46] и доклад А. И. Мальцева на Международном конгрессе математиков [М66], поднявшие ряд важных проблем этой теории, в частности, проблему описания решеток (квази) многообразий.
В-третьих, как"было замечено А.И. Мальцевым [М56] и как было показано совсем недавно В.А. Горбуновым [G95], многие вопросы теории квазимногообразий находят свое наиболее естественное выражение в рамках теории определяющих соотношений. Это отражает точку зрения на теорию хвазимногообразий как теорию конечно

определенных систем, в то время как теория многообразий' есть теория свободных систем.
Отметим теперь те направления исследований, которым посвящена настоящая работа, и укажем некоторые достигнутые результаты в этих областях.
1. Проблема башруемости. Это направление имеет целью исследование базисов тождеств и базисов квазитождеств в различных классах алгебраических систем, К этому, направлешпо “относится: вопрос о конечности базиса (квази)тождеств, который имеет важную роль при изучении (квази)зквационной теории для ' конкретных классов алгебр,. Как известно
Другим классическим вопросом в алгебре является вопрос о неприводимости базиса (квази)тождеств (квази)многообразия. Широко известны результаты, относящиеся к неприводимости базиса тождеств. Отметим лишь некоторые из них. Существование бесконечных неприводимых базисов тождеств доказывалось С.И. Адяном [А<175|. Ю.Г. Клейманом [1К.182, 2КІ72], Воон-Ли [У-Ь70], АЛО. Ольшанским [0178]..'Аналогичный результат для коммутативных .туп Му фант доказан в работе Н.й. Санду [Зал87],:'; Многообразия, групп,, не имеющие неприводимого базиса тождеств,, 'построил "Ю.Г. Клейман [К183]. 'р/ч.-:
В последнее время теория квазимногообразий характеризуется не; только интенсивным развитием, но и приложением, своих ТЩей и
1.2.28. Если квазимногсобразие Я имеет конечный базис, квазнтождеств и каждая Я-система финитно аппроксимируема в Я, то существует алгоритмі позволяющий определить, истинно или ложно произвольное квазитождество в Я [МсІ<і43].
1.2.29. (Теорема Горбунова). Если квазимногообразие Я имеет
бесконечный независимый базис квазитождеств и Я с Ш, для
некоторого конечного-аксиоматизируемого квазимногообразия Ш, то в решетке 1уШ квазимногсобразие Я имеет бесконечное число покрытий
3.1. Условие максимальности. Сначала докажем некоторые необходимые утверждения.
Лемма 2.3.1. Пусть Ь - лупа Муфанг, к - натуральное число, а, Ь е Г./, и с, й, е е I . Тогда:
[077]
П. ЭКЩЦИОНАЛЬНЬШ ТЕОРИИ
§3. Тождества ннльпотентной лупы Муфанг.
(25)
[а,с,4] г [с,й,г1] 1 з [й(г/,с] !(шо<1 [а,с,ёе] г 1а,с,ё]{а,с,е](тоё.
. [аЬ,с,ё] г [й,с){2][6)с,3(тос1 Ь2).
(27)
(28)
(26)
(30)
[а,сё] = [агс]1а.,ё][а,с,ё3 3(то<11,
(31)
[а,{с,а]] г [а,Суй] $(то<1 1/.к,)
(32)