Теоретико-модельные свойства обогащенных булевых алгебр и алгебр Ершова

• Автор: Трофимов, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 95 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Типы изоморфизма счетных суператомных алгебр Ершова с выделенными идеалами
1. Основные определения и обозначения
2. Типы изоморфизма суператомных алгебр Ершова конечного ординального типа
3. Алгебры Ершова счетного ординального типа
Г лава 2. Локальные и неисчезающие суператомные булевы алгебры с выделенной плотной подалгеброй
1. Предварительные сведения и результаты
2. Построение семейства формул Тк (х),
3. Локальные алгебры класса Кп, п >
4. Существование булевой алгебры с выделенной
подалгеброй для любой естественной функции
Глава 3. Автоморфизмы булевых алгебр, определяемые неподвижными элементами
1. Формулировка основного результата
2. Доказательство основных результатов
3. Следствия результатов, сформулированных в
первом параграфе
Литература
Введение.
Диссертация посвящена изучению обогащенных булевых алгебр и алгебр Ершова.
Исследование теоретико-модельных свойств булевых алгебр было начато в работах А. Тарского [26] и Ю. Л. Ершова [6]. Ими была предложена элементарная классификация булевых алгебр. В основополагающей работе Ершова [7] представлен алгебраический метод, с помощью которого удалось описать широкий класс типов изоморфизма счетных дистрибутивных решеток с относительными дополнениями (которые после этого были названы алгебрами Ершова [3]). В частности, из работы [7] следует характеризация Кетонена [21]. С. С. Гончаровым [2] предложена классификация типов изоморфизма счетных суператомных булевых алгебр.
Исследованию теоретико-модельных свойств булевых алгебр и их обогащений посвящено достаточно много работ. Впервые булевы алгебры с выделенными идеалами были рассмотрены Ершовым в [6]. В частности, там было доказано, что теория булевой алгебры с выделенным идеалом разрешима по крайней мере в следующих случаях:
1)71/1 конечна;
2) существует 8ир{х|х е /} и - атомная.
М. Рабин доказал, что теория класса булевых алгебр с выделенным идеалом разрешима [23], М. Рубин доказал, что теория класса булевых алгебр с выделенной подалгеброй неразрешима [24]. Из работ Р. Воота [30] и
Ч. Рылль-Нардзевского [25] следует, что элементарная теория булевой алгебры имеет счетно категоричную теорию тогда и только тогда, когда она содержит не более чем конечное число атомов. А. С. Морозовым [10] построены примеры булевых алгебр с одним выделенным идеалом и неразрешимой теорией для любой ненулевой первой характеристики Ершова-Тарского.
В работах Д. Е. Пальчунова [11-15, 22] доказано, что в булевой алгебре можно выделить идеал с неразрешимой элементарной теорией в точности тогда, когда она не является суператомной, получены критерии элементарной эквивалентности булевых алгебр с выделенными идеалами и разрешимости их элементарных теорий, дано описание счетно категоричных и конечно аксиоматизируемых элементарных теорий, описана алгебра Лиден-баума-Тарского класса булевых алгебр с выделенными идеалами, доказано, что элементарные теории достаточно широкого класса булевых алгебр с выделенными идеалами не имеют простой модели, изучены теории, имеющие простые и счетно насыщенные модели.
А. Тураем [27, 28] предложено обогащение языка булевых алгебр с выделенными идеалами, допускающее элиминацию кванторов, изучены различные теоретико-модельные свойства булевых алгебр с выделенными идеалами. В. И. Мартьянов [9] исследовал разрешимость теорий булевых алгебр с выделенным автоморфизмом. С. Ф. Винокуров и 3. А. Дулатова [1] показали, что элементарная теория решеток подалгебр булевых алгебр неразрешима. Дулатова [4, 5] исследовала булевы алгебры с выделенной

Пусть а — счетный ординал, обозначим Та - у еГ |о(ЭЗ() < а. Функцию у/: Та —> со + 2 назовем естественной, если выполнены следующие условия:
• со + 1еу/(Тт);
• если р • если • если у/(р) = со, го найдется тип / > р такой, что 0 < Для каждой счетной суператомной алгебры Ершова с выделенными идеалами Ж определим характеристическую функцию у/% по следующим правилам:
• у/и (0 = ® +1, если найдется представление (ст-представление) Д
алгебры Ж, для которого у, (Ж) = оо;
• (0 = ®ир{и е ]У|ЯЗ" < 2С} в противном случае.
Предложение 1.3.9. Характеристическая функция суператомной алгебры Ершова с выделенными идеалами и ординальным типом, равным со, для которой существует представление (а -представление), естественна.
Доказательство. Пусть Ж - суператомная алгебра ординального типа со, у/ - характеристическая функция. Докажем, что если у/{р)-со, то найдется тип £>/>такой, что 0 < у/(г) < со. В самом деле, пусть Ж - су{2С,
Без ограничения общности можно считать, что все алгебры неразложимые и 93 р < Ж1. Тогда если у/(1Ж]) < су , то искомый тип с найден.