Допустимые упорядочения и стандартные базисы дифференциальных идеалов

• Автор: Зобнин, Алексей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с.

1 1 Актуальность юмы

12 Цел (.работы

1 3 Научная новизна

1 4 Основные методы исследования

1 5 Теоре 1 и веская и практическая ценность работы

1 6 Апробация работы

1 7 Публикации

1 8 Структура и обьем диссертации

1 9 Благодарной и

Конструктивные методы коммутативной алгебры

2 1 Основные понятия теории базисов Гребнера

2 2 Матричное задание мономиальных упорядочений
2 3 Поведение базисов Гребнера при компошции
Конструктивные методы дифференциальной алгебры
3 1 Основные понятия дифференциальной алгебры
3 2 Задача принадлежности дифференциальному идеалу
3 3 Допустимые упорядочения и ранжиры
3 4 Характеристические множества
3 5 Дифференциальные стандартные базисы
3 6 Дифференциальные базисы Гребнера
Свойства допустимых упорядочений дифференциальных
мономов
4 1 Вполне упорядоченность множества дифференциальных мо-
номов
4 2 Матричное задание дифференциальных мономиальных упо-
рядочений
4 3 Особые классы дифференциальных мономиальных упорядо-
чений
4 4 Сокращение старших мономов в производных

5 Дифференциальные стандартные базисы
51 Определения Оливье и Карра Ферро
5 2 Необходимое и допаючное условия существования конечных
дифференциальных ( тндарюых базисов
5 3 Улучшенный процесс Оливье
5 4 Конечность дифференциальною стандартного базиса идеала [уи]
5 5 Примеры конечных и параметрических дифференциальных
с тндаргных базисов
5 6 Дифференциальные с тндартые базисы идеала [уу\
6 Дифференциальные идеалы, порожденные композицией многочленов
6 1 Связь дифференциальных с тндаргных базисов с базисами
Гребнера
6 2 Поведение дифференциальных стандартных базисов при композиции
6 3 Применения теорем о композиции дифференциальных стандартных базисов
6 4 Задача принадлежности для дифференциальных идеалов, порожденных композицией
Заключение
А Приложение
А 1 Схема еоо1 ношений между классами упорядочений и формулировками основных теорем
А 2 Реализация улучшенного процесса Оливье
А 3 Реализация алгоритма поиска многочленов с заданным сокращением мономов в производных
Список литературы

1 Введение
1.1 Актуальность темы
В последние пятнадцать лет был достигну] значительный прогресс в об-лас ги компьютерной алгс'бры Одной ив ее приоритетных задач является равви 1 ие мсчодов решения систем нелинейных алг ебраических уравнений от нес кольких непременных, а также методов изучения ал1 ебраических идеалов, порожденных нелинейными полиномиальными еисчемами Настоящим прорывом в данной обласчи стало появление базисов Гребнера и алюритма их вычисления, предложению! о Б Бухбер1ером в серс'дине 1960-х годов [5, 2, 9] Теория исключений, использовавшаяся ранее для решения систем, оказалась частью новой теории, позволяющей приводить произвольную систему уравнений к стандартному виду Неудивительно, что впоследствии стали расрабатываться различные обобщения понятия базиса Гребнера полиномиального идеала на прочие алгебраические структуры.
Одной из таких структур явились дифференциальные идеалы в кольце дифференциальных мноючленов, моделирующие системы дифференциальных алтебраических уравнений в том же смысле, в каком полиномиальные идеалы моделируют системы обычных алгебраических уравнений Для радикальных дифференциальных идеалов в кольце дифференциальных многочленов над алгеброй Рит та был создан эффективный метод разложения на характеризуемые компоненты [4, 3, 25], позволяющий, в частности, проверить принадлежность дифференциально! о многочлен а такому идеалу и исследовать строение множества решений Для произвольных бесконечно порожденных дифференциальных идеалов была доказана алюритмичеекая неразрешимость задачи принадлежности [16] Однако для нерадикалытых конечно порожденных идеалов вопрос об алторитмическом решении задачи принадлежности до сих пор открыт.
Дифференциальные стандартные базисы, появившиеся к номши о отличающихся формах в конце 1980-х гг в работах Ф Оливье [35, 36] и Дж Карра Ферро [6], являются прямым и естественным обобщением понятия базиса Гребнера, по не позволяю 1 полностью решить задачу принадлежности Сами основатели теории подметили, что для многих идеалов они могут быгь бесконечными Эго1 факт на несколько лег приостановил дальнейшие исследования в этой области Однако не так давно автором были получены неожиданные примеры конечных дифференциальных стандартных

Пример 21. Пус гь упорядочение -< задается бесконечной матрицей
/1 2 4 8 2к

Оно является ^-лексикографическим (по следствию 1), но ие 5-усюйчивым Дей( івительно, при п ^ 1 имеем Уц ь1уп У уп ;-1, іак как 2" + 1 + 2П > 2П и, но Уо”т1'Ді+і -< г/п потому что 2П + 1 + 2П+1 < 2пь2
Предложение 11. Пусть упорядочение -< является 6-лс ксикографичес ким Тогда из М ■< N следует, что либо
1п^6кМ -< 1шч <^тУ при всех к
либо при некотором ко
1тч<5АМ -< 1тч<5;дУ при 1 ^ к < ко и т^5кМ У 1тх<^іУ при к ^ ко.
Другими словами, при <5-лексикоі рафических упорядочениях для каждой пары мономов М и N начиная с некоторого порядка дифференцирования наступает строї ая б-усшйчивосгь
Доказательство Прежде всею заметим, что если 1 т^5кМ — 1 т^6кМ, то М — N ввиду лексикографичности
Достаточно показать, что с ростом порядка дифференцирования мономов М и N знак неравенства может поменяться не более одного раза Предположим противное Можем считать, что
М У тУ,
1т_< 8М у 1шч 5М,
' ї
1тч 8к~1М у 1тЧ<^_1/У,
1т. 5кМ У 1тч <5*ЛГ.
Пусгь 1т<5М = М^1, а Іт^дМ = Из первых двух неравенсів
получаем у]у1 У 2/і+іУі, откуда из 5-лексикографичнос т и упорядочения