Аддитивные задачи в алгебраических полях

• Автор: Козлов, Иван Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава I. Теорема о среднем значении тригонометрической суммы по гауссовым числам.

§1.1. Формулировка основной теоремы,

фундаментальные свойства среднего значения

тригонометрической суммы

§1.2. О простых в прогрессиях

§1.3. Вспомогательные утверждения

§1.4. Основное рекуррентное неравенство

§1.5. Доказательство теоремы

Глава II. Оценка сумм Г. Вейля на малых дугах.

§2.1. Формулировки теорем
§2.2. Сведение нелинейной системы сравнений
к линейной системе неравенств
§2.3. Оценка максимальной кратности
пересечения областей
§2.4. Доказательства теорем
Глава III. Общая оценка сумм Г. Вейля.
§3.1. Разбиение области изменения коэффициентов
многочлена на классы. Вспомогательные результаты
§3.2. Оценка суммы Г. Вейля на I классе
§3.3. Оценка суммы Г. Вейля на II классе
ГЛАВА IV. Асимптотическая формула
для аналога интеграла И. М. Виноградова
Список Литературы

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Здесь нами получена асимптотическая формула при Р —ь оо для аналога интеграла И. М. Виноградова, то есть асимптотическая формула для количества решений системы уравнений
Лі + • • • + Л* = ці + ---+Дь
( А^ Н--------Ь А| = Д А В д|, ^
, А? 4 Н А£ = + +
где неизвестные Аі,..., Хк, Ці, • • •, Цк — целые числа из поля 0>[г] (элементы кольца гауссовых чисел Щг), причем КА., := |А,|2 < Р, N^3 < Р, 5 = 1,..., п.
Эта асимптотическая формула основана на оценках тригонометрических сумм Г. Вейля по гауссовым числам. Центральным моментом этих оценок является аналог теоремы о среднем И. М. Виноградова для гауссовых чисел. Полученная нами теорема, с одной стороны, является обобщением теоремы о среднем Виноградова в поле рациональных чисел (см. [7]-[8],[6],[10] -[13],[18]), а с другой стороны, она представляет собой специфический частный случай двумерной теоремы о среднем ([1]-[5]). Двумерная теорема о среднем имеет дело с многочленами, степень которых по каждой переменной не превышает п и, следовательно, этот многочлен имеет порядка п2 коэффициентов. Здесь же мы рассматриваем многочлен с комплексными коффициентами и поэтому имеем 2п независимых в вещественном смысле коэффициентов. В работе обобщается метод Виноградова при этих условиях. В случае, когда коэффициенты являются вещественными, полученный нами результат практически совпадает с известными результатами И. М. Виноградова (см. [8]).
Отметим, что дальнейшее развитие метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова получил в работах Хуа Ло-Кена [17], Ю. В. Линника [18], А. А. Карацубы ([10]-[13]), Н. М. Коробова ([14],[15]), Г. И. Архипова ([3] - [6]), С. Б. Стечкина [20], В. Н. Чуба-рикова ([24]-[28]), О. В. Тыриной [21] и др.

Введение.

В полях алгебраических чисел метод тригонометрических сумм оказался полезным при выводе асимптотических формул в аддитивных задачах варинговского типа с помощью кругового метода Харди-Литтльвуда-Рамануджана в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова. Первые исследования в этом направлении провел К. Л. Зигель в середине 40-х годов XX столетия ([39], [40]). Эти исследования были продолжены Т. Татудзавой ([42],[43]) и О. Кёрнером [35]. В этих работах впервые появляется теорема о среднем для сумм Г. Вейля в полях алгебраических чисел. После появления р -адического метода А. А. Карацубы доказательства теоремы о среднем, И. Еда ([31], [32]) получил теорему о среднем с параметрами, отвечающими результату Виноградова в случае поля рациональных чисел.
К. Л. Зигель выдвинул гипотезу о том, что количество слагаемых Ск(п) (аналог функции Харди в проблеме Варинга для поля алгебраичеких чисел К) не зависит от поля К. Например, он доказал (41] , что пяти квадратов достаточно для представления любого целого числа в поле алгебраических чисел К. По существу, после использования метода Виноградова, здесь необходимо доказать положительность особого ряда и особого интеграла проблемы Варинга. Исследования в этом направлении были проведены Б. Берчем [30].
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.
Первая глава ’’Теорема о среднем значении тригонометрической суммы по гауссовым числам” состоит из пяти параграфов.
В §1.1 приводится формулировка теоремы о среднем, а также некоторые простые фундаментальные свойства числа решений системы диофантовых уравнений. А именно верна
Теорема 1.1. Пусть п, к, г — натуральные числа. Тогда, при к ^ пт, Р ^ 1 для числа 1(Р; п, к) решений системы (*) имеет место оценка
1 = I(P; n, k) < п2п52*(120 k)2nTP2k~s,
Глава I. Теорема о среднем
Итак, Р > (30к)2. Следовательно, КяР-1 ^ 2Р"“1 ^ 2Р~* < Поэтому, так как Р — 2(Р(Кя)-1 + 1), имеем

,2к~2п-8(т)
1^2&—2п—8(т) 2 к
= рр^тг)-1)-24-^ (1 + ^Р'1) (т) <
< (гР^я)-1)2*-2"“^ (1 + -М <
15«;)
< 22^-^ге_<Нш) р‘2к—2п-8(т) —21+2п+<5(т)
Тогда получим, что первое слагаемое в (1.5.2) не превосходит
- (120п(т + 1))Мт+1)п2Цт)п2х(т)22к-2п-8(т) х
п[п— Ц
X (N7г) 2 р2к—2п~5(т) ^
ЧТО В СВОЮ очередь не превосходит (напомним, ЧТО К7Г ^ 2Рп)
1________________________________________тьіть___________________________________1)
- (120га(т + 1)уп(т+1)пЩт+1)п2х(т) + -лТ-1+2пгпх

х р2Ь-(5(т)+п+|-(|+^^))
Наконец, учитывая, что
с/ , ч г/ ч 5(т) П+
5(т + 1) = 8(т)-------------------,

/ 1 ! Ч П(П — 1)
>с[т + 1) > х[т) + 2пт + ,
получаем оценку для первого слагаемого в (1.5.2) вида
-(120 п(т + 1^уЧт+1)п25(т+1)п2Н+1)рЫ-5(т+1)'

Приступая к оценке второго слагаемого в (1.5.2), можно считать, Р > (4п)2г* ( это замечание применяется также в доказательстве основной Леммы 1.4.1 ). Действительно, если Р ^ (4п)2”, то
р*(т) ^ ^4п)2я<5(г) <; 24п6('Т)п25^гг < 2п25^п,