Матричное представление свободных абелевых расширений

• Автор: Данилов, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ § 1. Свободные абелевы расширения групп, ассоциативных и лиевых алгебр
§ 2. Представление Магнуса в конгруэнц-модуляр-
ных многообразиях
§ 3. Необходимые понятия
ГЛАВА II. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАГНУСА ДЛЯ МУЛЬ-ТИОПЕРАТОРНЫХ АЛГЕБР
ф § 4. Свойства касательных колец
§ 5. Ядро представления
§ 6. Образ представления
§ 7. Некоторые приложения
ЛИТЕРАТУРА

В ВЕДЕНИЕ
Теория алгебраических систем или универсальная алгебра, берущая свое начало с классической статьи Биркгофа [23], к настоящему времени сформировалась в самостоятельный раздел общей алгебры. В развитии этой теории можно выделить (весьма условно) два основных направления. Первое из них связано с изучением наиболее общих, то есть не зависящих от сигнатуры, свойств многообразий, а второе — с изучением конкретных классов алгебраических систем. На важность исследования многообразий групп, колец, решеток, линейных алгебр и других классических- многообразий указывал А. И. Мальцев на Международном конгрессе математиков (Москва, 1966). В настоящее время известно большое количе-

ство глубоких и интересных результатов в этой области.
Помимо двух указанных направлений в теории алгебраических систем большой интерес представляет широкий круг вопросов, связанных с обобщением известных свойств конкретных многообразий на многообразия значительно более широкого класса. К важным и крупным успехам в этом направлении универсальной алгебры следует отнести возникшую в восьмидесятых годах теорию коммутаторов конгруэнций алгебр1, в которой вводится и изучается операция коммутирования конгруэнций, обобщающая известную из классической теории групп операцию коммутирования нормальных под-
*в подобном контексте алгебра (более точно, универсальная алгебра) — то же, что н алгебраическая система

групп. В действительности содержательная теория коммутаторов получается для конгруэнций алгебр лишь конгруэнц-мо-дулярных многообразий, но к счастью большинство многообразий алгебр, представляющих научный интерес, конгруэнц-модулярны. Систематическое изложение теории коммутаторов для конгруэнц-модулярных многообразий содержится в [24].
Среди прочего, теория коммутаторов позволяет развивать структурную теорию разрешимых алгебр в конгруэнц-модулярных и, в частности, в конгруэнц-перестановочных многообразиях алгебр. Описанию разрешимых алгебр в конгруэнц-модулярном многообразии посвящена работа [19]. Общий подход, позволяющий вести индукцию по ступени разрешимости, предложен В.А.Артамоновым в работе [3] и состоит в обобще-нии на алгебры конгруэнц-модулярных многообразий еще одной классической теоретико-групповой конструкции — представления Магнуса (различные аспекты этой конструкции с разной степенью подробности изложены в [16], гл. 15, [15, 26]). К сожалению, для общего конгруэнц-модулярного многообразия вопрос о ядре представления Магнуса не удается решить однозначно, как это делается для многообразия всех групп, поэтому представляет интерес изучение представления Магнуса для конкретных многообразий. Отметим, что еще до появления этого общего подхода аналог представления Магнуса для алгебр Ли был построен и изучен в работе [18], а для ассоциативных алгебр — в работе [28]. Недавно в диссертации [1] было

прямой суммы В двух копий пространства Fn над полем к. Алгебра Кп называется универсальной мультипликативной обертывающей алгеброй для абсолютно свободной алгебры Fn. Наша ближайшая цель состоит в определении универсальной мультипликативной обертывающей алгебры для алгебры А произвольного многообразия V алгебр над полем к.
Определение 3.3. Универсальным дифференцировани-

ем по Х{ называется линейное отображение : Fn -» Кп такое, что
dxj д(тіт2) „ дтп2 , дгщ
aï = 5“’ -flS“ = mi-sïT+m2"&7 (6)
для любых mі, тп2 Є Гп.
Пусть S — ассоциативная алгебра с единицей над полем к, и пусть а = (ci, <т2) — пара линейных отображений А —ь S. Для гомоморфизма у : Fn —ï А определим гомоморфизм c'y : Кп —> 5, задав его на свободных порождающих алгебры Кп:
<77(771') = cri(7(m)), <77(771") = <72(7(771)),
где 771 Є Г„.
Определение 3.4. Пара а = (cri, сг2) называется специализацией А в S, если для любого тождества t = 0 многообразия V, где t Є Fn, и любого гомоморфизма 7 : Fn —> А справедливо равенство <77 = 0, 1 ^ г ^ п. В этом слу-
л 8Р п
чае пишем а : А —У Ь.
Пусть в — категория специализаций алгебры А. Ее