Свойства суперстабильных теорий

• Автор: Бекенов, Махсут Искандерович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Караганда
• Количество страниц: 81 c. : ил

ГЛАВА I. Ранг формул и типов

§1. Предварительные сведения

§2. Обобщенные ранговые функции

Глава II. Определимые и нерасщепимые расширения типов.

' §3. Единственность вполне определимого

расширения

КА. Нерасщепимые расширения

Глава III, Свойство спектральных функций.

§5. Теории с базой

§6. О спектре квазитрансцендентных теорий

§7. О спектре -однородных моделей

ЛИТЕРАТУРА

Интенсивное развитие теории моделей, одного из разделов математической логики, где изучаются связи между формальным языком и алгебраическими системами (моделями), приходится на последние два десятилетия. Основателями теории моделей были советский академик А.И.Мальцев и американский профессор А.Тарский.За этот период теория обогатилась новыми идеями,методами и конструкциями.
Её методы нашли применение в алгебре,геометрии,топологии,теории множеств. Одним из методологических аспектов теории моделей является классификация алгебраических систем с точностью до элементарной эквивалентности. Начиная со второй половины шестидесятых годов, центральное место в теории моделей занимают исследования по счетным полным теориям первого порядка.Вопросы, которые охватывались при изучении были разнообразны:, классификация полных теорий, вопросы категоричности, спектральных функций,разрешимости теорий, существования специальных моделей,конструктивизируе-мости моделей, конечной аксиоматизируемости, приложения теории моделей к изучению конкретных классов алгебраических систем и многие другие.
Классификация полных теорий является одной из основных задач общей теории моделей.Особый успех здесь имела идея Морли-класси-фикация полных теорий по отношению мощности модели к мощности стоуновского пространства этой модели. Полную теорию Т называют А -стабильной, если для любой её модели М МОЩНОСТИ -А , имеет место /А^У-А /ГДе &(м) -стоуновское пространство модели М , а /$(М)1 -мощность б(/Ч). Теория Т называется стабильной теорией, если существует кардинал А такой,что Т А -стабильна. Теория 7~ называет-

ся суперстабильной теорией, если У А -стабильна для всех А ^ %!Т1
Одним из достоинств идеи Морли было введение ординально-значной ранговой функции с тем,чтобы, используя трансфинитную индукцию по рангу,получать интересные результаты,касающиеся структуры моделей стабильных теорий. Этот подход состоит в следующем. Рассматривается некоторая функция Я ,которая каждой формуле теории Т ставит в соответствие, некоторое ординальное число аА)~оСФ<х> то
говорят, что Т /С -р а н г о в а н а, Например,если рассматривается ранговая функция Морли Ям ,и для любой УУлтД) теории У, то говорят, что Т (У -рангована или по Морли/Я *7 / тотально трансцендентна.
Важность такого подхода в исследованиях по теории моделей является общепризнанной. При решении различных задач Болдуин, Лахлан, Шелах,Мустафин,Ласкар и ряд других авторов вводили новые ранговые функции. Так,например,были введены -ранговые
функции Шелаха, /£4-ранговая функция Лахлана, ранговая функция Болдуина,Бласса,ранговая функция «Иаскара. Более того в работах /*7,/к7 были сформулированы в виде аксиом наиболее существенные^ применениях, свойства некоторых известных ранговых функций, что позволило определить новые классы теорий и решить некоторые вопросы об ординальнозначных ранговых функциях.
В 1965 году Морли и о] подтвердил для счетных теорий гипотезу Лося 11&3
Т е о р е м а I. Если теория У категорична в некоторой мощности >/Г/ ,то Т категорична во всех мощностях > (Т1

стабильных теориях, мы будем часто использовать в дальнейшем.
Теорема 5.6.[іС] Если ~Г стабильная теория и Т(х3а) неалгебраическая и недвукардинальная формула теории У ,то не существует моделей М1 и А/, теории У таких, что ,
СЛ(/.
Напомним, что теория У называется квазитрансцендентной, если для любого множества А теории У существует простая атомная над А модель М теории Т . По теореме 3, каждая ^3 -стабильная теория является квазитрансцендентной, но существуют ква-зтрансцендентные теории,которые не являются и) -стабильными/«].
Если У и) -стабильная недвукардинальная теория, то, по теореме 2, У несчетно категоричная теория. Для квазтрансцендентных недвукардинальных теорий это уже не так. Но имеет место следующая теорема.
Те орема 5.7. Квазитрансцендентная недвукардинальная суперстабильная теория У имеет базу. Следовательно,
1тУи) -Щ +1 для всех с/ , а если эта база недвукардинальна, то Іт(
Доказательство. Пусть М/ , /У/ .По теореме І.ІЗ для суперстабильной теории .Пусть V5(х,&),аеМ неалгебраическая формула наименьшего ранга, по ранговой функции , среди всех неалгебраических формул с параметрами из М . Для любых АСМ и неалгебраического ре.£(А) имеет место ^(х}й)ер —у (Ч’(хУ)) - У>е^(р) .Действительно по свойству ранговой функции %)■£$(/>) ^ .Если же З)ер(р)^ ^(%0^),Т0 по
лемме 1.11 существует такая У(х,4)&р ,что <%ер(р)=?)ерУ(х3а)). Значит , Ъгд (У (хЛ))^ (УУА)) ,что невозможно по выбору
А(хУ) .По лемме 1.12 и так как У счетная теория, то нетрудно понять, что существует А^МА^А ,[АУ такая, что для любого