Бирациональная жесткость, факториальность и расслоения на эллиптические кривые

• Автор: Чельцов, Иван Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 188 с. : ил.

Содержание
Введение
Часть 1. Бирациональная жесткость
1.1. Локальные неравенства
1.2. Гиперповерхности малых степеней
1.3. Пересечение квадрики и квартики
1.4. Двойные и тройные накрытия
1.5. Нодальная пятимерная секстика
1.6. Циклические тройные пространства
Часть 2. Факториальность
2.1. Двойные пространства
2.2. Гиперповерхности
2.3. Полные пересечения
Часть 3. Взвешенные гиперповерхности
3.1. Конструкции эллиптических структур
3.2. Случай единственной эллиптической структуры
3.3. Классификация эллиптических структур
3.4. Бирациональные автоморфизмы
Часть 4. Вспомогательный материал
Приложение А. Подвижные лог-пары
Приложение В. Неравенства Нетера-Фано-Исковских
Приложение С. Лог-присоедипение и связность
Приложение D. Расслоения на кубические поверхности
Приложение Е. Многообразия Рида-Флетчера
Список литературы
Введение.
Настоящая работа посвящена следующим тесно связанным между собой темам:
• бирациональная жесткость многообразий Фано1 степени о, 6, 7 и 8;
• новый метод доказательства Ц-факториальности2 трехмерных многообразий;
• бирациональная геометрия взвешенных гиперповерхностей.
Бирациональная жесткость.
Проблема рациональности3 алгебраических многообразий является одной из наиболее глубоких и интересных проблем алгебраической геометрии. Глобальные голоморфные дифференциальные формы являются естественными бирациональными инвариантами неособого многообразия, которые полностью решают проблему рациональности алгебраических кривых и поверхностей. В трехмерном случае существуют нерациональные многообразия, которые очень близки к рациональным, и имеющихся дискретных инвариантов не хватает для доказательства нерациональности. В работе [16] был доказан следующий результат.
Теорема 0.1. Пусть V — неособая трехмерная квартика в Р4. Тогда Вй(П) = Аи1;(17).
Значит, неособые квартики в Р4 нерациональны , откуда следует отрицательное решение проблемы Люрота5 в размерности 3. Например, можно показать, что квартика
ж4 + хъи3 + у4 — 6г/2г2 + г4 +Ь4 + Ан = О С РгоДС]®, у, .г, 4, ад])
унирациональна, неособа и нерациональна по теореме 0.1. Любая унирациональная алгебраическая кривая или поверхность является рациональной.
Известно четыре способа доказательства нерациональности рационально связных многообразий6 (см. [93], [65], [36], [125], [14]), но только метод работы [16] применим для доказательства нерациональности конкретного рационально связного многообразия размерности больше трех. Отметим, что для доказательства нерациональности конкретного многообразия размерности три помимо метода работы [16] применим также методы промежуточного якобиана (см. [93], [36]) и группы Брауэра (см. [65], [94], [139]). Однако, за единственным исключением двойнох’О накрытия Р3 с ветвлением в квартике (см. [37], [38], [39], [40]), метод промежуточного якобиана применим только в случае существования на трехмерном многообразии структуры расслоения на коники, а метод группы Брауэра может быть эффективно применим только к трехмерным многообразиям, представимым в виде расслоения на коники с несвязным дивизором ветвления. С другой стороны, применение метода вырождения часто дает очень эффективный способ доказательства нерациональности общего многообразия в заданном семействе (см. [36], [68], [125], [128], [56] и приложение Б).
Как стало видно из методов работы [16], бирациональная геометрия неособой трехмерной квартики напоминает геометрию многообразий общего типа7. Позднее оказалось, что неособая трехмерная квартика является далеко не единственным многообразием, которое обладает подобными свойствами. Теперь такие многообразия стало принятым называть би-рационально жесткими многообразиями.
Рассматриваемые многообразия считаются проективными, нормальными и определенными над С. Многообразия с обильным антиканоничееким дивизором называются многообразиями Фано.
Многообразие принято называть ?}-факториальным если некоторая ненулевая кратность каждого дивизора Вейля на нем является дивизором Картье.
Многообразие V рационально, если поле его рациональных функций изоморфно полю С(хх
4В условиях и обозначениях теоремы 0.1, линейная система О-ч (1) | г ] инвариантна относительно действия группы АифУ), поскольку - К у ~ Оу.({)у. Следовательно, группа Аи1(У) состоит из проективных автоморфизмов, откуда следует ее конечность (см. [131], [НО]). Таким образом, группа В1г(У) конечна, откуда следует, что квартика V нерациональна, поскольку группа Вп(Р3), очевидно, бесконечна.
5Проблема Люрота в размерности п состоит в следующем: верно ли, что существуют существуют нерациональные, но унирациональные многообразия размерности п? Напомним, что многообразие V унираци-онально, если существует доминантное рациональное отображение р : Рп ---> V.
Многообразие называется рационально связным, если через любые две точки на нем проходит рациональная кривая (см. [129], [126]). Например, унирациональное многообразие рационально связно.
Многообразие X есть многообразие общего типа, если <Пш(ф|п/,'х! (А)) — сЦт(Х) для п 'у> 0.

Определение 0.2. Пусть X — многообразие Фано, имеющее терминальные и Q-фактори-альные особенности, такое что rkPic(AT) = 1. Тогда X называется бирационально жестким, если выполнены следующие условия:
• многообразие X не может быть бирационально перестроено в многообразие Y, такое что существует расслоение т : Y —> Z, где dim(Y) > àim(Z) ф 0, а общий слой расслоения г имеет размерность Кодаиры равную —оо;
• многообразие X не бирационально многообразию Фано с Q-факториальными терминальными особенностями и группой Пикара ранга 1, которое неизоморфно X.
Таким образом, трехмерное неособое многообразие Фано с группой Пикара Z является бирационально жестким в том и только в том случае, когда оно не может быть бирационально перестроено в расслоения на рациональные кривые или поверхности, а также ни в какое трехмерное многообразие Фано с терминальными Q-факториальными особенностями, чья группа Пикара имеет ранг 1. Бирационально жесткие многообразия Фано нерациональны8.
Определение 0.3. Бирационально жесткое многообразие Фано X, имеющее терминальные и Q-факториальные особенностями, такое что rkPic(A') = 1, называется бирационально сверхжестким, если Bir(X) = Aut(A)
Из работы [16] следует, что неособая трехмерная квартика является бирационально сверхжестким многообразием Фано. Более того, оказалось, что методы работы [16] могут быть применены для доказательства бирациональной жесткости или бирациональной сверхжесткости многомерных многообразий Фано, имеющих небольшую степень9, но даже при небольшом увеличении степени сложность соответствующего доказательства диспропорционально увеличивается. Например, в работе [141] получен следующий результат.
Теорема 0.4. Неособая четырехмерная квинтика в Р5 бирационально сверхжестка.
Все известные способы доказательства бирациональной жесткости или бирациональной сверхжесткости многообразий Фано являются комбинациями применения определенных локальных неравенств и глобальной проективной техники. Причем, чем слабее используемое при доказательстве бирациональной жесткости локальное неравенство, тем сильнее должна быть соответствующая проективная техника10. Например, глубокие свойства проективной геометрии трехмерной особой квартики были использованы в работе [26] для доказательства следующего естественного обобщения теоремы 0.1.
Теорема 0.5. Пусть X — достаточно общая трехмерная квартика в Р4, имеющая одну обыкновенную двойную особую точку. Тогда X бирационально жестко.
С другой стороны, в работе [96] было найдено новое локальное неравенство, связывающее канонические пороги трехмерных подвижных лог-пар в окрестности обыкновенной двойной точки и кратности соответствующих подвижных линейных систем, с помощью которого в работе [132] было дано очень простое доказательство следующего обобщения теоремы 0.5.
Теорема 0.6. Пусть X — нодалъная11 трехмерная квартика в Р4, имеющая Q-факториальные особенности12. Тогда X является бирационально жесткой.
8Вирапиональную жесткость можно определить для многообразий Фано, определенных над произвольным полем. Можно показать, что существуют бирационально жесткие поверхности дель Пеццо над алгебраически незамкнутым полем (см. [9], [13]). А именно, в работах [19] и [20] доказанабирациональная жесткость неособых поверхностей дель Пеццо с группой Пикара Z, имеющих степень 1, 2 и 3, которые определены над произвольным алгебраически незамкнутым совершенным полем. В частности, минимальные гладкие кубические поверхности бирационально эквивалентны тогда и только тогда когда они проективно эквивалентны.
9Степенью многообразия Фано V называется число (-AV)", где п = dim(V). Из классификации неособых трехмерных многообразий Фано следует, что неособое трехмерное многообразие Фано степени больше чем 24 рационально (см. [114]), а проективное пространство Р3 имеет наибольшую степень среди неособых трехмерных многообразий Фано.
10При доказательстве теоремы 0.4 в работе [141] использовано то же локальное неравенство (см, теорему 4.45), что и в [16] при доказательстве теоремы 0.1, но первое доказательство сложнее чем последнее.
Многообразие нодально, если его особенности суть обыкновенные двойные точки.
12Можно показать, что трехмерная нодальная квартика, имеющая не более 8 обыкновенных двойных точек, всегда имеет Q-факториальные особенности (см. замечание 2.47).

Показано, что 2 и й удовлетворяют условиям теоремы 4.2 работы [100]. Положим
ф = е(нпе) = {<&
где (1 — точка. Из теоремы 4.2 работы [100] следует, что для каждой точки <3; существует поверхность В; С Р3 СТвПеНИ Ф, КОТОраЯ содержит все ТОЧКИ множества ф <3г и не содержит точку С другой стороны, у нас уже имеется поверхность б степени 3?' - 4 - /I, которая содержит множество 3 П Е и не содержит ни одной точки множества Е (3 Л Е), откуда следует, что объединение GVBІ является поверхностью степени Зг - 4, которая содержит множество но не содержит точку <Эг. Из леммы 2.18 следует, что существует
поверхность степени Зг — 4, которая содержит Е Р и не содержит Р.
Итак, теорема 2.2 и утверждение гипотезы 0.13 доказаны. Приведем два примера, которые показывают, что глобальное условие <0>-факториальности также зависит и от поля определения.
Пример 2.22. Пусть многообразие X задано квазиоднородным уравнением
у2 + д1{х0,Х1,Х2,х$) = к1(хо,Х1,Х2,хз)(х0,Х1,Х2,Хз) С Р(14,3) = Рго](С[я0,а;ьХ2,хз,г/]),
где д3, Л.1 и /5 — общие однородные многочлены степени 3, 1, и о соответственно, определенные над полем К. Тогда X не является <12-факториалышм над полем С, поскольку дивизор, высекаемый на многообразии X, уравнением = 0 распадается в объединение двух дивизоров, не являющихся дивизорами 0>-картье, которые переставляются действием группы Оа.1(С/К) и высекаются на взвешенной гиперповерхности X заданы уравнением
(у + фг-1д3(,х01Х1,х2,х3))(у - 1дз(хо,Х1,х2,х3)) = 0.
Поверхность 5 С Рго](С[жо,Ж1,Ж2,жз!) имеет 15 обыкновенных двойных точек, которые высекаются на X уравнениями к(х, у, х, го) = д3(х, у, х, го) = ф3(х, у, х, го) = 0.
Определяя новые переменные а и /3 веса
у+уг1дз(х0,Х1,х2,х3) _ /5Ы,ХиХ2,Х3)
Ьі(хо,жі, аса,х3) у - фґШд3(х0,х,х2,хз)
у - У1Лд3{хо,х1,Х2,х3) _ fb(x0,xi,x2,x3)
hi(xo,xi,x2,x3) у + /—1дз(жо> х,х2,х3)
можно антиспроектироватъ (см. [148]) многообразие X на полные пересечения т> _ / ahi{xo,xi,x2,x3) = у + Лд3(хо,хъх2,х3) 1 ( а(у - V-lgs(x0,xi,x2,x3)) = /6(sо,хі,х2,хз) J

Г phi(xo,xi,x2,x3) =y - дз(х0,Х1,х2,х3)
І / )
[P{v + V-lg3(Xo,Xi,X2,X3)) = /5(х0,Хі,Ж2,Хз) J
соответственно, которые не определены над полем К.
Теперь исключая переменную и, мы получаем изоморфизмы
' V £* {a2h - 21ад3 - /5 = 0} С Р(14,2)
V = {/32/ц + 2д3 - /5 = 0} С Р(14,2)
Антипроекции р : X —+ V и р : X --> V можно поместить в коммутативную диаграмму

ЧФ

у*--- X V
с бирациональными морфизмами ф,ф,фяф, такими что фиф — экстремальные стягивания в смысле [95], а ф и ф — флоппирующие стягивания (см. [123]).