О распознаваемых свойствах ассоциативных алгебр

• Автор: Касапенко, Луиза Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 77 с.

Оглавление
1. Распознавание свойств подалгебр мономиальных алгебр
1.1. О проблеме свободной порожденности подалгебр мономиальных алгебр, заданных конечным БАЄВІ- базисом
1.2. Распознавание конечномерности подалгебр
2. Распознавание свойств алгебр со строгой фильтрацией
2.1. О модуле сизигий и делителях нуля в диксоновой алгебре со строгой фильтрацией
2.2. Распознавание некоторых свойств строго - градуированных алгебр
2.3. О радикальных свойствах строго - градуированных алгебр
2.4. О росте стандартно конечно-определенной алгебры Ли
3. О стандартном базисе полиномиальных идеалов с умножением коммутативных мономов по правилу Пом-мар э
3.1. О Р-стандартном базисе полиномиальных идеалов
А. Приложение

Введение
В диссертации изучается распознавание некоторых свойств алгебр специальных видов с использованием техники стандартных базисов.
Первая попытка построения стандартных базисов сделана в работах ([22],1926; [24],1927). Стандартный базис впервые определен в идеалах свободных коммутативных алгебр 1С[х, х, , жп] и рассмотрен алгоритм ’’критических пар” Бухбергером в ([16],1965; [17],1970).
А.И. Ширшов предложил конструкцию стандартных базисов в свободных алгебрах Ли С{хi,X2, . - ,хп) и доказал лемму о композиции (см. [12], 1962). В ассоциативном случае исходной является работа Л.А. Бокутя (см. [1]). Бергман доказал ’’Diamond” лемму (аналог леммы о композиции в лиевском случае), чем распространил понятие базиса Гребнера на свободные ассоциативные алгебры /С(ж1, Ж2,.. -, хп) (см. [14],1978). Систематическое изложение фактов, связанных со стандартными базисами сделано В.Н. Латышевым в работе ([4],1988) и В.А. Уфнаровским в обзоре ([11],1990). Е.С. Голод в ([21],1988) сформулировал понятие стандартного базиса для фильтрованной алгебры с одномерными фильтрующими подпространствами и предложил ’’Diamond” лемму в гомологической форме. A.A. Михалев в ([25],1992; [26],1996) определил стандартный базис и доказал лемму о композиции для супералгебр Ли, р-супералгебр Ли и цветных супералгебр Ли.
В теории уравнений с частными производными возникли инво-лютивные методы (см. [32],1978), благодаря которым появилась принципиально новая схема построения базисов Гребнера в комму-

тативной алгебре, разработанная А.Ю. Жарковым и Ю.А. Блинковым (см. [36],1993). Дальнейшее развитие эти идеи получили в ([20],1996). Такие стандартные базисы в настоящей работе названы P-стандартными базисами (см. Гл.З, §3.1).
Во всех вышеупомянутых конструкциях стандартный базис определялся в идеалах различных классов алгебр.
Стандартный базис в подалгебрах первоначально определен в свободных коммутативных алгебрах JI. Роббиано, М. Свидлером, а также Д. Капуром, К. Мадленером в работах ([33],1988; [23],1989) и назван SAGBI-базисом (Subalgebra Analogue to Grobner bases for ideals). H.K. Иыуду в ([3],1999) определила это понятие в подалгебрах свободных ассоциативных алгебр.
В.Н. Латышев в ([27]; [28]; [29]; [30]) предложил обобщенную версию стандартных базисов, которая содержит в себе все вышеупомянутые. Она позволяет строить стандартный базис в подполигонах линейных полигонов, в частности, в идеалах строго-градуированных алгебр и алгебр со строгой фильтрацией.
Алгоритмические вопросы в различных классах алгебр исследовались А.И. Ширшовым, В.Н. Латышевым, В.А. Уфнаровским, У.У. Умирбаевым, Т. Гатевой-Ивановой, В.В. Борисенко, А.Я. Беловым, Н.К. Иыуду, Д.И. Пионтковским (см. [2], [3], [7], [9] - [13], [18], [19]).
Ряд распознаваемых свойств ассоциативных стандартно конечноопределенных (с.к.о.) алгебр указан В.Н. Латышевым и Т.Гатевой-Ивановой (см. [18],1987; [19],1988). В монографии ([13],1995) А.Я. Беловым, В.В. Борисенко, В.Н. Латышевым рассмотрено распознавание некоторых свойств автоматных алгебр, в том числе распознаваемость делителей нуля и нильпотентных элементов. В ([2],1995) доказана распознаваемость свойства элемента быть односторонним

Pi(G) e В V* = 1,2
Тогда
X] А#,-(
Поэтому

А* = 0 и X] А7;рг(С) = 0.

Аналогично, A&_i = ... = Ai = 0.
Всякий элемент b G В выражается в виде линейной комбинации элементов из В.
Действительно, b можно представить в виде
b=i:XiPi(G) (1.3)

Аi £ K., Pi(G) - существенное произведение для любого г = 1,2
Пусть ко - наибольшее из {1,2,
S = Ркo(G) - p(G) = Е7(01 57->
(»')
-ÄV - существенные произведения, g~...gir < Pk0{G). Подставим в равенство (1.3) выражение
№>(£) = Piß) + Е7(г)9ч 9гг,
получим равенство вида (1.3), в котором значение, аналогичное pko(G), меньше либо равно pko(G), но число различных слагаемых со