Комбинаторно-геометрические свойства точечных множеств

• Автор: Райгородский, Андрей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение
Общая характеристика работы
1 Системы общих представителей
1.1 Постановка задачи. Определения и обозначения
1.2 Формулировки основных результатов главы
1.3 Доказательство теоремы
1.4 Доказательство теоремы
1.5 Доказательство теоремы
1.6 Замечание
2 Дефект допустимых множеств
в решетке
2.1 Постановка задачи для октаэдров и шаров.
Определения и обозначения
2.2 Формулировки основных результатов главы
для октаэдров и шаров
2.3 Первая комбинаторная лемма
2.4 Вторая комбинаторная лемма
2.5 Доказательство теоремы
2.6 Доказательство предложения
2.7 Постановка обобщенной задачи
2.8 Формулировка основного результата главы
для множеств общего вида
2.9 Обобщенная комбинаторная лемма
2.10 Доказательство теоремы

3 Проблема Борсука
3.1 Построение контрпримера к гипотезе Борсука
во всех размерностях <1 >
3.2 Доказательство теоремы
3.3 Проблема Борсука для (0,1) - многогранников
и кросс - политопов
3.3.1 Определения и обозначения
3.3.2 Формулировки основных результатов параграфа
3.3.3 Примеры
3.3.4 Доказательство теорем 3.4 и
3.3.5 Доказательство теоремы
4 Приложение. Конструктивный подход к обоб-
щению результатов параграфов 2.1 - 2.6 главы

4.1 Формулировка основного результата приложения
4.2 Пример
Список использованных источников

Введение
В диссертации рассматривается несколько задач, лежащих, по существу, на стыке двух весьма активно развивающихся разделов математики - геометрии чисел и комбинаторной геометрии. Комбинаторная геометрия занимается задачами о дискретных системах (выпуклых) тел и точек в (вообще говоря, не обязательно евклидовом) пространстве, имеющими ярко выраженный комбинаторный характер. Иными словами, задачи комбинаторной геометрии - это те задачи дискретной геометрии, которые удается свести к нахождению тех или иных целочисленных характеристик возможных расположений в пространстве упомянутых дискретных систем. В этом смысле многие задачи геометрии чисел также могут быть отнесены к комбинаторной геометрии. Существенное отличие состоит, однако, в том, что если задачи, решаемые в геометрии чисел, возникают, как правило, из теоретико - числовой проблематики, то вопросы, рассматриваемые в комбинаторной геометрии, обусловлены задачами, геометричними по своей сути.
В геометрии чисел, основанной трудами Эрмита, Мин-ковского и Вороного и очень активно развивавшейся впоследствии, благодаря работам Касселса, Давенпорта, Малера, Зигеля, Морделла, Роджерса, Шмидта, Рышкова и др., изучается весьма широкий круг задач и методов, успешно прилагаемых к различным проблемам теории чисел. Так, в связи с задачами теории диофантовых приближений, а также с некоторыми вопросами алгебраической теории чисел, целесообразным оказывается рассматривать такую дискретную систему точек в евклидовом пространстве, как решетка - целочисленная линейная оболочка некотрого множества линейно независимых векторов в пространстве, - явля-

таких, что Д С Доказательство того, что для любых
натуральных f, таких, что 1 < t < fc", и для любых множеств Д, card R = t, таких, что R С Sfi.fc*', выполняется оценка (2.3), очевидно, равносильно доказательству того, что эта оценка выполняется для любых натуральных t, 1 < t < kv, для любых натуральных чисел tj
cardi? = t и Vj card (Д П = Ь- Возникают
два случая.
Случай 1. Величина t - любая такая, что 1 величины таковы, что Vj 0 < tj < ku~1,Yla=i ta
и найдется хотя бы одно tj = 0, а множество R С Диа -любое такое, что card Д — f и Vj card (R П
tj. Пусть и таково, что величины i;
A U„oeti tloet
It {М € М : М С Д} < Е , <
„=1 clogn clogn
чем оценка (2.3) в случае 1 доказана полностью.
Случай 2. Величина t - любая такая, что 1 < t < к",
величины tj
l. а множество Д С Щц* любое такое, что card R = t и Vj card (Д n5R(j_i)-i+xj-i) = tj. В этом случае ясно, что
# {MeM:McR}< E + min
a=l Cbgn
Покажем, что всегда
Л 4bgt0 , . 0 * log«
Е —;-+ mm{tlv .., tk} <
a=i с log гг clogn
Доказательство этого факта проведем индукцией по величине t, к < t < ки. (Нижняя оценка величины t обусло-