SH-двойственность коммутативных полугрупп

• Автор: Баринова, Валерия Ростиславовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 72 с.

Оглавление
Введение

§1. ЭН-двойственность и Ш-двойственность относительно
коммутативных регулярных полугрупп
§2. 8Н- и Ш-двойственность коммутативных полугрупп
§3. БН-квази двойственность коммутативных полугрупп
§4. Само двойственность коммутативных полугрупп
§5. Слабая двойственность коммутативных полугрупп
Библиография

Введение
1. Общие замечания
Теория полугрупп активно развивается в течение последних десятилетий и к настоящему времени является самостоятельной ветвью абстрактной алгебры. Настоящая работа посвящена проблеме двойственности в категории коммутативных полугрупп.
Приведем основное определение. Пусть А и В- коммутативные полугруппы. Обозначим через Нот (А, В) полугруппу всех гомоморфизмов полугруппы А в полугруппу В относительно действия: (7/ *(2)(а) = /] (а) *[2 (а) для любых а е А, /;, /2 е Нот (А, В).
Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа А двойственна относительно коммутативной полугруппы В. если гомоморфизм аз: А ->Нот (Нот (А, В), В) по правилу (со (а))ф / (а) (а е А и / е Нот (А, В)) является биективным.
Теория двойственности начала активно развиваться благодаря работам Л.С.Понтрягина [29], [30], относящимся к началу 30-х годов. Основным методом исследования в этих работах служит изучение связей между данной группой и ее группой характеров, где под характером понимается гомоморфизм данной группы в мультипликативную группу К комплексных чисел, по модулю равных единице. Каждой коммутативной локально компактной топологической группе О ставится в соответствие группа характеров X группы С. Основная теорема двойственности Л.СЛонтрягина утверждает, что О естественным образом можно рассматривать как группу характеров группы X.
Л.Фукс [25] в 1959 году получил необходимые и достаточные условия, при которых произвольная дискретная группа двойственна относительно К, а именно: для дискретной группы И имеет место теорема

двойственности тогда и только тогда, когда С является абелевой конечной группой.
Известно, что двойственный объект к локально компактной группе уже не является группой, если только исходная группа некоммутативная. Этот факт верен даже для конечных групп, он является причиной, затрудняющей перенесение на некоммутативные полугруппы теории двойственности Л.С.Понтрягина. Заметим лишь, что для некоммутативных компактных групп теорема двойственности доказана Т.Таннакой (1938 г.) и М.Г.Крейном (1949 г.); ее обобщения принадлежат Н.Татсууме (1965 г.) и М.Такесаки (1971 г.). Для некоммутативных локально компактных групп аналогом характеров являются унитарные представления, аналогом произведения характеров - кронекеровское произведение представлений. Г.И.Кац [4], [5] построил категорию кольцевых групп (в современной терминологии унимодулярных алгебр Каца), в которую вкладывается категория унимодулярных групп, и в которой имеет место принцип двойственности, сводящийся к двойственности Л.С.Понтрягина в случае коммутативных групп. Двойственности некоммутативных алгебраических систем посвящены также работы Л.И.Вайнермана [2], [3].
Вопрос о выполнении принципа двойственности в категории коммутативных полугрупп впервые был рассмотрен Э. Хьюиттом и Г.Цукерманом (1956 г.) [27]. Для полугруппы 5 двойственным объектом является множество полухарактеров 5”, то есть множество ненулевых гомоморфизмов полугруппы Я в мультипликативную полугруппу комплексных чисел С. Э.Хьюитт и Г.Цукерман показали, что для конечной коммутативной полугруппы Я имеет место теорема двойственности тогда и только тогда, когда 5 содержит единицу и является объединением непересекающихся групп.
Р.Уорном и Л.Вильямсом [31] в 1961 году была поставлена проблема нахождения необходимых и достаточных условий выполнения теоремы

gз £.; (с2) = V , g3(F {с2}) = 0.
Тогда в полугруппе Нот (Нот (Р, В), В) имеется не менее трех элементов типа (2, 1), что противоречит изоморфизму между полугруппами Р и Нот (Нот (Р, В), В). Следовательно, полугруппа Ае - моногенная. Причем, поскольку по условию Ае двойственна относительно В, то А с: В, и значит, Ае - моногенная полугруппа типа (п, 1), п < 3.
Невозможность представления полугруппы А в виде объединения нильполутруппы Ае и группы Ое показывается так же, как при доказательстве достаточности 1)<=>2).
Итак, показано, что если коммутативная полугруппа А НБ-двойственна относительно коммутативной полугруппы В, то А является либо конечной группой, либо моногенной полугруппой типа (и, 1), п < 3.
2)оЗ).
Необходимост ь.
Пусть коммутативная полугруппа А БН-двойственна относительно коммутативной полугруппы В. Тогда из 2)01) получаем, что А является либо конечной группой, либо моногенной полугруппой типа (п, 1), п < 3.
Рассмотрим произвольную подполугруппу А' произвольного гомоморфного образа ср(А) полугруппы А. По условию о)ф),в является изоморфизмом.
Рассмотрим гомоморфизм со, являющийся сужением гомоморфизма (0(р(А),в на подполугруппе А тогда
со: А' ->Нот (Нот (<р(А), В), В), но, учитывая определение со(р (А)уВ, получаем
о): А ’ -о- Нот (Нот (А В), В), то есть со = со а Так как сов - изоморфизм, то соав - мономорфизм.
а) Пусть А - моногенная полугруппа типа (п, 1), п < 3. Тогда, так как
А =Нот (Нот (А, В), В),