Первичные многообразия ассоциативных алгебр и связанные с ними нильпроблемы

• Автор: Самойлов, Леонид Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 158 с.

Оглавление
Введение

Предварительные сведения

Обзор результатов диссертации

1 Ограниченность нильиндекса радикала относительно свободной

алгебры

1.1 Сведение проблемы ограниченности нильиндекса радикала к теоре-

ме 3

1.2 Доказательство теоремы 3 при п < р

1.3 0 матричном типе нерегулярных первичных многообразий

1.4 Канонические формы на матричных алгебрах

1.5 Чистые тождества с формами, выполняющиеся во всех алгебрах Мп.
1.6 Базис тождеств с формами алгебры матриц
1.7 Некоторые тождества алгебры Мп
1.8 Доказательство теоремы 3 в общем случае
1.9 Аналог теоремы Левицкого для бесконечно порожденных ассоциа-
тивных алгебр
2 Алгебраичность носителей первичных многообразий ассоциатив-
ных алгебр
2.1 Постановка проблемы
2.2 Результаты А. Р. Кемера о локальной представимости
2.3 Построение алгебры 8ё
2.4 Критические параметры 7-идеалов
2.5 Доказательство предложения
2.6 Доказательство теоремы
3 Унитарная замкнутость первичных многообразий
3.1 Формулировка результатов

3.2 Унитарная замкнутость Т-первичных идеалов
3.3 Доказательство теоремы
3.4 Доказательство теоремы
4 О тождествах матричных супералгебр
4.1 Полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Уаг(Мхд)
4.2 О минимальной степени тождеств матричных супералгебр
Литература

Введение
Предварительные сведения.
Исторический обзор. Первое появление алгебр с полиномиальными тождествами (РІ-алгебр) связано с исследованием оснований проективной геометрии. РІ-теория берет свое начало в работе Дена [48] 1922 года, в которой он в связи с выполнимостью теоремы Дезарга на проективной плоскости над телом исследовал вопросы, при каких условиях тело будет коммутативным. В 1937 году Вагнер, также занимаясь основаниями проективной геометрии, установил в [78], что алгебра матриц любого порядка над полем удовлетворяет полиномиальному тождеству. Следующим важным этапом явилась статья М. Холла [54] 1943 года, в которой помимо всего прочего доказано, что некоммутативная алгебра с делением, удовлетворяющая тождеству [[ж, у]2, г] = 0, где [х,у] = ху — ух, является четырехмерной над своим центром.
Переломной вехой в развитии РІ-теории явилась статья Капланского [57] 1948 года, где доказан классический результат, что любая примитивная алгебра, удовлетворяющая полиномиальному тождеству степени (1, является конечномерной простой алгеброй над своим центром размерности не выше д/2. Двумя годами позже, в 1950 году, Амицур и Левицкий в [41] нашли минимальную степень тождества, выполняющегося на алгебре матриц порядка п над полем. Это послужило началом нового направления в РІ-теории, где основным объектом изучения является множество тождеств, выполняющихся на данной алгебре. Другим, число алгебраическим, источником РІ-теории явилась проблема А.Г. Куроша (см. ниже). В конце 50-х - начале 60-х годов РІ-теория быстро превратилась в самостоятельную содержательную ветвь современной алгебры.
Многообразия алгебр. В работе рассматриваются ассоциативные алгебры над полем Р1, которое, как правило, будет предполагаться бесконечным.
Через Р(Х) и Р(ХУ будем обозначать свободную ассоциативную алгебру (т.е. алгебру некоммутативных полиномов) без единицы и с единицей соответственно, порожденную счетным множеством X. Полином /(ад,... ,х„) Є іДХ) называется тождеством (ассоциативной) алгебры А, если /(сц,... ,ап) = 0 для всех пі,..., ап Є А. Алгебра, удовлетворяющая ненулевому тождеству, называется РІ-алгеброй. Множество всех тождеств алгебры А будем обозначать Т[А. Ясно, что Т[А является идеалом свободной алгебры Р(Х). Этот идеал удовлетворяет допол-

равен Л”х(а) для некоторой (п+1)-неразбиваемой перестановки а, то д не является тождеством Мп. Отсюда вытекает, что утверждение леммы 2 справедливо для всех полилинейных полиномов. Если полином является линейной комбинацией неотмеченных мономов, то любая частичная линеаризация этого полинома или равна нулю, или снова является линейной комбинацией неотмеченных мономов. При этом если некоторая собственная частичная линеаризация не равна нулю, то из индукционных соображений по глубине линеаризации утверждение леммы можно считать справедливым. Базой индукции является случай полилинейных полиномов.
Таким образом, при доказательстве леммы можно считать, что каждая собственная частичная линеаризация тождества /(ац,... , хД = 0 равна нулю. Выберем такую переменную, по которой степень полинома /(, ад.) не равна 1; без ограничения общности можно считать, что это переменная Х. Тогда степень тождества /(хь..., хД = 0 по переменной Х равна рв, в > 0. В самом деле, в противном случае у полинома / есть частичная линеаризация, удовлетворяющая свойствам: степень этой линеаризации по любой из переменных равна р*' (число £ свое для каждой переменной), и полином / получается из этой линеаризации путем отождествления некоторых переменных — противоречие с тем, что каждая частичная линеаризация полинома / равна нулю.
Докажем, что полином /(ац,..., хД может быть представлен в алгебре Р(Х) в виде
/(хь ... ,хД = ТДхД^ • д{х2,.. .,хк), (1.3)
где д{х2,..., хД 6 Р(Х).
Действительно, обозначим через 1гп(/г(х 1,...)) такую частичную линеаризацию полинома /г(хь ...) по переменной Х, что /гп(/г(х 1,...)) имеет степень 1 по переменной у и степень <1еёХ1(Я) — 1 по переменной г. Очевидно, что если щ и и2 - различные мономы со следом, то 1гп{и) и Нп(и2) не могут содержать одни и те же мономы с ненулевыми коэффициентами. Следовательно, так как Ип(/) — 0, то Ип(иг) = 0 для любого монома иг, входящего в / с ненулевым коэффициентом. Для доказательства (1.3) осталось показать, что если Нп(и) = 0 для некоторого неотмеченного монома и, то и может быть представлен в форме
й = Тг(х1)р5 • иг,
где моном щ не зависит от XI.
Допустим, что моном и имеет вид
и = ноТДщ)“1 .. -ТгКГ ПТгЮ>
где По, 141, ... , и3, и'3 обычные МОНОМЫ И 141, .... п5 попарно различны с точностью до циклического сдвига; при этом щ,..., и8 зависят от переменной хц, и1 не зависят от переменной XI, щ может как зависеть, так и не зависеть от Х. Очевидно,