Надгруппы нерасщепимого максимального тора, содержащие одномерное преобразование, в полной линейной группе над полем

• Автор: Джусоева, Нонна Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Владикавказ
• Количество страниц: 99 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. Элементарные трансвекции в надгруппах нерас-щепимого максимального тора, содержащих одномерное преобразование

§1.1. Общая постановка задачи

§1.2. Факторизация

§1.3. Нормализатор полной линейной группы, связанной с промежуточным подполем

§1.4. Сети и сетевые группы

§1.5. Поведение трансвекций и связанных с ними элементов в промежуточных подгруппах

§1.6. Подгруппа с одномерным преобразованием содержит трансвекцию

§1.7. Техника извлечения элементарных трансвекций

§1.8. Трансвекции в надгруппах нерасщепимого тора

ГЛАВА 2. Исследование структуры подгрупп (содержащих одномерное преобразование) полной линейной группы (7Г(п, к),
содержащих нерасщепимый максимальный тор
§2.1. Свойства матриц тора в случае произвольного
базиса конечного расширения
§2.2. Тор, связанный с радикальным расширением основного поля
§2.3. Кольца множителей и модули трансвекций промежуточной подгруппы
§2.4. Описание сетевых колец, нормализуемых тором 47 §2.5. Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с тором
§2.6. Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с промежуточной подгруппой

§2.7. Включение в нормализатор (случай, когда все модули трансвекций первого столбца совпадают с кольцом 7?, До <= Д)
§2.8. Нормализатор элементарной группы (случай произвольной сети)
ГЛАВА 3. Максимальные подгруппы (не содержащиевЬ(п, к)) полной линейной группы СЬ(п,к), содержащие нерасщепи-
мый максимальный тор
§3.1. Факториальные кольца. Постановка задачи
§3.2. Свойства определителей матриц, определяющих
нерасщепимый тор
§3.3. Построение максимальных промежуточных подгрупп, не содержащих 5Д(п, к)
Литература
Обозначения

Введение
Одним из важнейших, перспективных и интенсивно развивающихся разделов современной алгебры является теория линейных групп. Теория линейных групп имеет связи с такими областями, как общая теория групп, теория колец, теория чисел, группы Шевалле и др. Линейные группы изучаются как абстрактные группы, как алгебраические группы, как группы матриц и т. д. Большое количество работ посвящено таким вопросам, как задание образующими и соотношениями, группы, порожденные элементами специального вида (например, трансвекциями и отражениями), представление, изоморфизмы, максимальные подгруппы. Наша работа связана с изучением расположения подгрупп в линейных группах, точнее, с направлением, в котором изучаются подгруппы линейной группы, содержащие фиксированную подгруппу. Перечислим некоторые результаты этого направления.
Классическим результатом этого направления является описание параболических подгрупп, полученное Ж. Титсом. Далее, в 1965 г. в классической работе Бореля — Титса [72] были изучены связные алгебраические подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полем к. В частности, из проведенных ими исследований вытекало описание алгебраических подгрупп полной линейной группы G = GL(n,k), содержащих группу диагональных матриц D(n, к) (для алгебраически замкнутого поля к). Этот результат Бореля — Титса был значительно усилен 3. И. Бореви-чем [9] в 1976 г.
Выделим цикл работ (Н. С. Романовский, 3. И. Боревич, Р. А. Шмидт, Я. Н. Нужин), посвященных описанию подгрупп, промежуточных между группой над кольцом и подкольцом (см. [10, 61-63, 65, 70 ]). Отметим, что в работе Я. Н. Нужина [61] описаны промежуточные подгруппы всех групп лиева типа, когда основное поле является алгебраическим расширением меньшего. В серии работ [24, 64, 75, 82] изучались максимальные подгруппы в линейных группах и группах Шевалле.
Следует отметить значительный вклад в развитие теории расположения

Поэтому, согласно предложению 1.7.1, Н содержит трансвекцию 1 +Çem-f.
§1.8. Трансвекции в надгруппах нерасщепимого тора
В этом параграфе будут доказаны следующие результаты.
Теорема 1.8.1. ([52, 54]) Пусть Н - промежуточная подгруппа, Т < H < GL(n, /с), содержащая одномерное преобразование. Тогда для любого г, j найдутся г, s так, что элементарные трансвекции £„■(£), tSJ(Ç) содержится в группе Н, для некоторых ненулевых элементов £, ( поля к.
Теорема 1.8.2. ([52, 54]) Пусть К — простое (в частности, радикальное) расширение степени п бесконечного поля к нечетной характеристики; Н — промежуточная подгруппа, Т < H < GL(n, к), содержащая одномерное преобразование. Тогда для любых г, j, i ф j элементарная трансвекция Д?(0 содержится в подгруппе Н для некоторого ненулевого элемента £ поля к.
Доказательство теорем 1.8.1 и 1.8.2 мы будем вести в терминах группы Autk(K). Таким образом нам надо доказать наличие в промежуточной подгруппе Н трансвекций 1 + £ет ■ /г для соответствующих т, г. Далее, достаточно рассмотреть случай г — 1, то есть рассмотреть трансвекции 1 + £ет • f -, так как остальные случаи рассматриваются аналогично.
Доказательство теоремы 1.8.1. Пусть Н содержит одномерное преобразование. Согласно предложениям 1.6.2 и 1.5.4 можно считать, что Н содержит трансвекцию 1 + tf. Покажем, что для некоторого т > 2, трансвекция 1 + iem • / G H.
Мы предполагаем, что для нашего базисаei, ег,..., еп элементы еД,..., еД линейно независимы над полем к. Согласно предложения 1.7.2, достаточно показать, что для некоторого т > 2 либо £2еД, либо b(z,t)t2eД не содержится в к—подпространстве L = (в2,..., еп). Предположим, что это не так. Пусть £2еД, b(z,t)t2e~€ L, для всех т > 2, причем, согласно лемме 1.5.8, можно считать, что элемент b(z,t) ф к. Положим Ь = (еД,...,еД). Тогда t2L = L, b(z.t)t2L — L, откуда b(z,t)L — L. Из предложения 1.5.