Линейные группы над ассоциативными кольцами

• Автор: Голубчик, Игорь Захарович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 232 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.
§ 1.Общая характеристика работы. ;
§2.Содержание работы по параграфам
ГЛАВА 1.Нормальные делители полной линейной группы.
§З.Локализационная размерность Р1-колец
§4.Нормальные делители полной линейной группы над ассоциативными кольцами
§5.Коммутаторные формулы в полной линейной группы над ассоциативным кольцом
ГЛАВА 2.Изоморфизмы полной линейной группы.
§6.Изоморфизмы проективных групп над ассоциативными кольцами
§7.Изоморфизмы группы СЬп(К), ш4 над ассоциативным кольцом К
§8.Изоморфизмы группы 0Ь£(И) над ассоциативным кольцом К
§9.Автоморфизмы проективных групп над ассоциативными кольцами
ГЛАВА 3.Унитарные и сетевые группы.
§10.0 нормальных делителях линейной и унитарной групп над ассоциативными кольцами
§11.Сетевые подгруппы полной линейной группы
§12.0 р-параболических подгруппах в полной линейной группе над ассоциативным кольцом
ГЛАВА 4.Группы над алгебрами над бесконечными полями.
§13.Группы лиевского типа над Р1-кольцами
§14.0 полной линейной группе над слабо нетеровыми ассоциативными алгебрами, ’ '194
§15.0 некоторых обобщениях метода факторизации
Работы автора по теме диссертации
Список литературы

§1 Общая характеристика работы.
Диссертация посвящена бурно развивающемуся разделу алгебры-теории линейных групп над кольцами,включающими в .себя группы автоморфизмов градуированных алгебр Ли. ’ ,
В работе изучаются две тесно связанные между собой задачи:
1)описание изоморфизмов линейных групп;
2)описание нормальных делителей линейных груш,включая доказательство коммутаторных формул.
Классическим группам над телами посвящены известные монографии Э. Артина "Геометрическая алгебра"[33,Р.Бера "Линейная алгебра и проективная геометрия"[17]Д. Дьедонне " Геометрия классических групп"[263.переход к полулокальным кольцам и порядкам в них отражен в монографии A.J.Hahn,0.Т.O'Meara "The Olassical C-roups and K-Theory”[983.Классическим группам над кольцами с конечным стабильным рангом посвящены работы Басса[43,Бака , Васерштейна .Степанова .Группам над коммутативными и почти коммутативными кольцами посвящены работы Уилсона [1343, Голубчика CAI3,[А23.Суслина и Копейко [793,Абе и Судзуки [863, Тадей [1243.Вассерштейна [1293,[1363.Плоткина,Вавилова,Степанова
[193,[213.УотерхаузаEI3I3.ПетечукаС523,[543,Яна[1353.Опубликован ряд сборников статей [13,[343.
В настоящей работе описание изоморфизмов линейных груш GLn(R) проведено над произвольными ассоциативными кольцами при п>3,а описание нормальных делителей,включая коммутаторные формулы проведено для широкого класса ассоциативных колец,включающего в себя PI-алгебры и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из предложения 1.4 следует, что
1.1.а. (мп(Ю) 1.1.а. (К)
Пусть 1.1.а.(В) = к и цепочка идеалов {0} = 10 с ... с х = к удовлетворяет определению 1.1.а.(К). Рассмотрим цепочку идеалов {0 > = Мп(10) £ ... £ МпЗЕк+1 " Мп(К) кольца Ып(Ю
доказательства неравенства 1.1.а.(М (И)) к достаточно показать, что для 0 т к любой идеал J1 кольца Мп(В/1т), лежащий в идеале М (I 1/1т), является леволокализующим.Пусть й1 = К/1т, J1 - Мп(Д), Д - идеал в К1, б = (1 + - левое кольцо частных
кольца К1 относительно системы (1 + <Т) и ф:К1 - 0 - канонический гомоморфизм колец. Рассмотрим гомоморфизм колец матриц, индуцированный гомоморфизмом ф, и обозначим его ф :М (Д ) -»
Мп(0). Покажем что Мп(в) = (1 + Д1)_1Мп(К1). Ясно что Мп(й) = (1
+ *Г)~1М (1 ). В силу леммы 3 достаточно показать, что элементы вида ф (1 + х) обратимы в кольце Мп(С) для х € «Т.,. Докажем это, проведя индукцию по п. При п = 1 утверждение справедливо. Пусть п > 1. Рассмотрим матрицу
А = ф (1 + х)

1 +хч..- - X, ‘
11 1п
X .1+Х
п1 пп
€ М Ш)

где Х± € ф(Д). Приведем элементы Х±1 (1 + Х1 1 ) где 1 <Кп, к
общему знаменателю в кольце б. Получим х (1 + х11) 1 = (1 +
2)_1у± и (1 + а)х±1 = у±(1 +х11), где у± е ф(Я,), и € ф(«Г). Рассмотрим, далее, матрицу В = (1 + и)Еп - 2±>1 У±Е±1, где Еп -единичная матрица порядка п, Е± - матричные единицы. Матрица В обратима в кольце М (0), так как выше диагонали у матрицы В стоят