Аппроксимируемость свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой некоторыми классами конечных групп

• Автор: Азаров, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 102 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. О свободном произведении групп с одной объединенной конечной подгруппой
§ 1. Основные результаты первой главы
§ 2. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой корневым классом групп
§ 3. О свободном произведении конечных групп с одной объединенной подгруппой
§ 4. О свободном произведении групп с одной объединенной конечной подгруппой
ГЛАВА 2. О свободном произведении конечно порожденных нильпотентных групп с одной циклической объединенной подгруппой
§ 5. Основные результаты второй главы
§ 6. Некоторые замечания о конечно порожденных нильпотентных группах
§ 7. Об отделимости подгрупп конечно порожденных нильпотентных групп
§ 8. О свободном произведении конечно порожденных нильпотентных групп с одной циклической объединенной подгруппой
§ 9. О нильпотентной аппроксируемости некоторых свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой
ГЛАВА 3. О свободном произведении свободных групп с одной циклической объединенной подгруппой
§ 10. Основные результаты третьей главы
§11. Предварительные замечания
§ 12. О свободном произведении конечного числа свободных групп с одной циклической объединенной подгруппой

§ 13. О свободном произведении свободных групп с одной циклической объединенной подгруппой
ГЛАВА 4. О свободном произведении некоторых разрешимых групп с одной объединенной подгруппой
§ 14. Основные результаты четвертой главы
§ 15. О свободном произведении абелевых групп с одной объединенной подруппой
§ 16. О свободном произведении ограниченных разрешимых групп с одной циклической объединенной подгруппой
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы
Пусть К, - абстрактный класс групп. Говорят, что группа (7 аппроксимируется классом АС, если для любого элемента д группы (3, отличного от 1, существует гомоморфизм у> группы б на некоторую группу из АС такой, что ду> ф 1. Группы, аппроксимируемые классом Т всех конечных групп и классом Тр всех конечных р-групп называются соответственно финитно аппроксимируемыми и аппроксимируемыми конечными р-группами.
Класс всех групп, аппроксимируемых классом АС, будем обозначать через дАС. В частности, через цТ и яТр будем обозначать класс всех финитно аппроксимируемых групп и класс всех групп, аппроксимируемых конечными р-группами.
К числу наиболее важных аппроксимационных свойств группы, наряду с аппроксимируемостью классом АС, относится также и аппроксимируемость классом АС относительно сопряженности. Говорят, что группа в аппроксимируется классом АС относительно сопряженности, если для любых не сопряженных между собой элементов ж и у группы б существует гомоморфизм оз группы (3 на некоторую группу В из АС такой, что элементы ж<р и у<р не сопряжены в группе В. Группа, аппроксимируемая относительно сопряженности классом Т всех конечных групп называется группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.
Хорошо известно, что свободная группа финитно аппроксимируема. Более того, свободная группа аппроксимируется классом Тр относительно сопряженности для любого простого числа р (см. напр.
[5] с. 47).
Многие апппроксимационные свойства групп наследуются свободными произведениями групп. К числу таких свойств относятся финитная аппроксимируемость, аппроксимируемость конечными р-группами, а также финитная аппроксимируемость относительно сопряженности (см. напр. [21],[16]).
Наряду с изучением аппроксимационных свойств обычных свободных произведений, на протяжении последних четырех десятилетий велись достаточно интенсивные исследования аппроксимационных свойств свободных произведений групп с объединенной подгруппой. Эти исследования в немалой степени стимулировались тем обстоятельством, что свободное произведение с объединением двух групп,

1. Пусть для некоторого А е Л х £ (Уд и х ~ с>к £ Я. Тогда у £ Оц для некоторого р £ Л и существуют элементы ко = = к, к
2. Пусть для некоторого А £ Л х Р- (Уд и х не сопряжен в (Уд ни с каким элементом из Н. Тогда у £ С и х ~ охУ-
3. Пусть х не лежит ни в каком свободном сомножителе группы (У, х — хг ... хг - несократимая запись элемента х. Тогда У ~ нх*, где х* - некоторая циклическая перестановка произведения Х ... хг.
Замечание. Перечисленные в предложении 9 необходимые условия сопряженности элементов х и у являются, очевидно, и достаточными.
Предложение 10. Пусть Н - конечная подгруппа и для каждого А £ Л группа (Уд финитно аппроксимируема относительно сопряженности. И пусть Х,у £ (У, причем X гЬ С;у и хотя бы один из этих элементов не сопряжен ни с каким элементом из Н. Если О £ цЕ, то существует гомоморфизм а группы С на конечную группу В такой, что ха вУ°-
Доказательство. Без потери общности можно считать, что х и у - циклически несократимые элементы, причем х не сопряжен в (У пи с каким элементом из Я. Рассмотрим циклически несократимые записи
X — X1 ... хг, у — у
элементов х и у. Поскольку х £ Я, то все Х{ не принадлежат Я.
Предположим, что С £ цЕ их* (уу. Покажем, что ха вуа для некоторого гомоморфизма а группы С на конечную группу В.
Поскольку Я С, (У £ цЕ и Н < сю, то существует нормальная подгруппа N группы (У такая, что выполняются условия:
(а) XI ТУЯ (1 г г);
(б) Если у Я, то yi £ ТУЯ (1 г з);
Пусть Яд = (Уд П ТУ (А £ Л). Тогда семейство Я = (Яд)д€л совместимо и свободные сомножители группы С'и являются конечными группами ограниченных порядков. По следствию 1.1. группа Ои финитно аппроксимируема относительно сопряженности. Поскольку Кег рц ТУ, то ввиду условий (а) и (б) Х{ри Ярц и, если у £ Н,