О средних значениях арифметических функций в классах вычетов

• Автор: Преображенский, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

Введение
Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом исследования являются оценки наименьшего квадратичного невычета по модулю простого числа в арифметических последовательностях. Постановка задачи о наименьшем квадратичном невычете по простому модулю принадлежит И. М. Виноградову. В 1914 г. он дал элементарное доказательство квадратичного закона взаимности, в котором использовалась оценка Гаусса для наименьшего квадратичного невычета порядка корня квадратного из модуля. В 1918 г. И. М. Виноградов [3] получил оценку наименьшего квадратичного невычета в арифметической прогрессии. Она имеет вид

пр < р1/(2^Е)1п2р, (1)

где р — простое число, пр — наименьший квадратичный невычет по модулю р, е — неперово число, основание натурального логарифма.
В 1926 г. И. М. Виноградов [4] обобщил эту оценку на степенные невычеты и дал оценку наименьшего первообразного корня. В 1952 г. Г. Дэвенпорт и П. Эрдёш [17] уточнили степень логарифма в оценке (1). Кроме того, они нашли оценку момента любой четной степени для неполной суммы символов Лежандра. Она имеет вид

< 2к^К2к + (4к)к+1ркк, 1 < к < р, к Є N.

В том же году И. М. Виноградов [5] получил оценку суммы характеров по «сдвинутым» простым числам, где он нашел

х + А

оценку момента четвертой степени от неполной линейной суммы характеров, что уже позволяло улучшить оценку наименьшего невычета.
Ю. В. Линник и А. Реньи в начале пятидесятых годов получили ряд условных результатов по проблеме наименьшего квадратичного невычета, которые связывают эту задачу с оценкой модуля Д-функций Дирихле на единичной прямой [7].
В 1957 г. Д. Берджесс получил современную оценку для наименьшего квадратичного невычета, которая, грубо говоря, является корнем квадратным из оценки (1). В дальнейшем А. А. Карацуба дал новый вариант доказательства оценки Д. Берджесса и решил ряд родственных задач, связанных с распределением значений сумм характеров на разнообразных арифметических последовательностях (см., например, [10]).
В основе всех доказательств оценок наименьшего квадратичного невычета по простому модулю лежат два утверждения. Первое из них — оценка неполной суммы характеров Дирихле по простому модулю, второе — оценка количества натуральных чисел с малыми (или с хотя бы одним большим) простыми делителями. Эти два утверждения положены и в основу настоящей диссертации.
Перейдем к формулировке основных результатов работы. В первой главе диссертации «Квадратичные невычеты в арифметических последовательностях» устанавливается оценка наименьшего квадратичного невычета по простому модулю в последовательности [ап]. Эта последовательность обобщает арифметическую прогрессию. С. М. Воронин назвал такую последовательность антъе-последователъностъю. Оценивается наименьшее вбМ, при котором [ап] (тос! р) будет квадратичным невычетом по модулю р. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть а иррациональное число, неполные частные которого ограничены, у обозначает, наименьшее на-

туральное число v, при котором число [аи] (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р. Тогда
п <£,а р1'^+є.
Теорема 2. Пусть а иррациональное число, неполные частные которого не обязательно ограничены, щ обозначает наименьшее натуральное число v, при котором число [аи] (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р. Если для любого фиксированного єч > 0 существует К, такое что для всех к ^ К выполняется неравенство
акак--1 < QklV
где ak — к-е неполное частное, Qk-i — знаменатель к — 1-й подходящей дроби числа а, то
Теорема 3 обобщает теоремы 1 и 2.
Теорема 3. Пусть а иррациональное число, для неполных частных которого справедливо соотношение
ак&к+1 f(Qk—l)>
где ak — к-е неполное частное, Qk-i — знаменатель к — 1-й подходящей дроби числа a, f — некоторая возрастающая функция натурального аргумента. Пусть, далее, р обозначает наименьшее натуральное число v, при котором число [an] (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р. Тогда
щ ^ 16f2(D(e)pl^i^+e)D2(e)p1/^+2e,
где є и D(e) — величины из оценки Берджесса для пр — наименьшего квадратичного невычета по простому модулю р:
Пр «С Л(ф1',(4^>+е.
34 Глава I. Квадратичные невычеты
с условием ^ = 1. (Все простые q, такие, что = — 1, входят в разложение числа вида а2 + М2 на простые сомножители в четной степени. Поэтому такие простые не влияют на то, является ли данное число вычетом или невычетом.) Здесь используется лемма 2.
Таким образом, любой невычет от 1 до х вида а2 + сйг, представляется в виде д(«2 + с!-«2), где — 1> А < д ^ х.
Возьмем х ^ р1/2+62, х, < р.
Это дает оценку сверху
Е‘ к Е Е !+ Е Е V
а2+с1Ь2^.х, Л<д$Гж/М, а2+с№2;$ж, ж/А/<д^ж, а2+с?62^ж,
а,бей / д|а2+ 4 9 ; а,6е2 4 9 ' а,Ье%
где М — некоторое фиксированное число. Далее,
Е 1= Е 1 < 2 е 1,
а2+с№2^ж, а2+е№2=(ы2+ д| а2+е№2, а,6,и,Уб
а,£>€
так как по лемме 2 справедливо неравенство ЛГ(то<7 = и2 + йу2) ^ 2N{m = и2 + Л)2). Затем,
2 ^ l^(2^rx)/(Vdq)(l+P(x/q)),
и2 -Ы^^ж/д,

где /3(ж/ 0 при (ж/д) -> оо. Если лее q > х/М, то воспользуемся тривиальной оценкой
2 Е *<2 Е
иЧ^Нф,
и,*еХ
^ 2(2у/ф + I)2 ^ 2(3у/ф)2 < 18а:/?.