Чисто-вещественные биквадратичные алгебраические поля и их приложения

• Автор: Герцог, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Метод К. К. Фролова
1.1 Вспомогательные леммы
1.2 Решётки и гиперболическая дзета-функция
решёток
1.3 Алгебраические решётки
1.4 Класс функций Е“(С)
1.5 Оценки сверху погрешности квадратурных
формул на классах функций -Е“(С)
1.6 Тригонометрические суммы сеток с весами
1.7 Алгебраические сетки
2 Вычисление четырехкратных интегралов с помощью сеток биквад-ратичных полей
2.1 Биквадратичные поля
2.2 Вычисление кратных интегралов
2.2.1 Вычисление двукратных интегралов
2.2.2 Вычисление трехкратных интегралов
2.2.3 Вычисление четырехкратных интегралов,
первый вариант
2.2.4 Вычисление четырехкратных интегралов, второй
вариант
2.2.5 Вычисление четырехкратных интегралов, третий
вариант
2.2.6 Область изменения параметров
2.2.7 Вычисление четырехкратных интегралов, 4-6 варианты
Заключение
Литература

Введение
Одной из классических проблем вычислительной математики является задача приближенного вычисления определенного интеграла. Различные квадратурные формулы для вычисления определенного интеграла были построены ещё в XIX веке. Построение на их основе многомерных квадратурных формул оказалось неэффективным из-за существенной потери точности с ростом размерности. Поэтому 55 лет тому назад, исходя из нужд вычислительной практики, в приближенном анализе возник теоретико-числовой метод Н. М. Коробова , который позволил построить для канонической области интегрирования, являющейся единичным 5-мерным кубом = [0; 1)*, многомерные квадратурные формулы, существенно более точные, чем классические формулы для классов периодических функций с быстро сходящимися рядами Фурье.
В задаче численного интегрирования выделяют следующие основные постановки задач построения квадратурных формул:
1. оптимальные для заданного класса функций Р;
2. асимптотически оптимальные квадратурные формулы;
3. имеющие точный порядок погрешности;
4. имеющие порядок погрешности, отличающийся от точного на множитель вида 1п7 N (IV — число узлов в квадратурной формуле).
Точная формулировка задачи отыскания квадратурных формул, оптимальных на некотором классе Г, принадлежит академику А. Н. Колмогорову. Для ряда классов функций одной переменной эта задача рассматривалась академиком С. М. Никольским и его учениками [19].

В данной работе рассматривались вопросы приближенного интегрирования функций многих переменных по единичному й—мерному кубу по методу К. К. Фролова [20] для непрерывных периодических функций с периодом, равным единице по каждой из переменных ху (V

/(я) = 5 С(т)е2
02iп(т,х)

где:
|С(Й)К (жД7™;)«- (а>1)
и т — тах( 1, |ш|) для любого вещественного т.
Областью интегрирования является единичный куб:
Gs — {х | 0 < хи < 1, и = 1,2
Для погрешности квадратурной формулы
11 ДГ
У ... У f(x)dx = “ RnU'} (!)

с N узлами £(к) и весами р(к) (к — 1
оценку:1
I/? л Л1 < — V' 15(гГг)1 ™
N ти

= тригонометрическая сумма сетки. (3)

Для равномерной сетки с равными весами а N = п8 узлами:
)-ад (4)
7 и- Ь=О /с8

13нак 52 означает, что суммирование распространено на наборы (mi... ms) (0

Лемма 12. Для числа целых точек Q, принадлежащих области
П (ад + 9ух2 + ... + ©* ад)

(1.17)
х„ Ni, (и = 1
Q < 2S 1 + 2 b) (s + 1) (slog2(iViA) + 2)s 1,
где постоянная A = A2(ü) = max (1 +|@J +...+ |0J_1|) зависит лишь

от корней <ЭУ, (и = 1,,s) многочлена (1.15).
Доказательство. Для любой целой точки х, принадлежащей области (1.17), выполняются неравенства
XNiÿ-1 + + + 01ж*1 ( = 1, , s). (1.18)
Ясно, что А > 1 и log2 А > 0.
Действительно, если х — целая точка, то алгебраически сопряженные числа ©Да?) = Xi + Qvx2 + ... + ©Д1,, — целые алгебраические числа (у = 1
Д Х + G„X2 + ... + ©£ 1XS 1,

(А77і)в 1|жі + 9цХ2 + ... + ©* 1х8 1,
х + ©Д2 +... + ©Д1! (хгії)1 = ' ' ’
Следовательно, достаточно оценить число целых точек для области, удовлетворяющей ограничениям (1.17, 1.18). Такую область можно покрыть параллелепипедами
х + ©г/Х’2 + ... + ©ГЧ| к1‘ 2°", (и = 1, . , в), (1.19)
где целые числа щ
0 < Уі + ... + в,
-{з - 1) 1об2(МА) - < 1оё2 т - + 1оё2 А + 1, (1.20)
и — 1,2... ,з.