Строение обратимых матриц над упорядоченными алгебраическими системами

• Автор: Ильин, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 94 с.

Содержание
Введение
1 Обратимые матрицы над положительно упорядоченными неассоциативными кольцоидами
,1.1 Описание матриц, обратимых над областью целостности кольцоида
1.2 Описание матриц, обратимых над областью квазицелостности кольцоида Л
2 Обратимость матриц над положительно упорядоченными кольцоидами
2.1 Обратимость матриц над кольцоидами, в которых элемент 1 является талией
2.2 Описание сильно обратимых матриц над кольцоидами общего вида
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что многие вопросы в алгебре зачастую оказываются так или иначе связаными с матрицами, причем наряду с классическими вещественнозначными и комплекснозначными матрицами различные применения имеют, например, булевозначные матрицы, матрицы над решетками. Разумеется, при изучении матриц над различными алгебраическими системами далеко не последнее место отводится вопросу о их обратимости. Однако, в то время как свойства обратимых матриц над полями и кольцами иследуются достаточно давно, многие вопросы, касающиеся обратимости матриц над полукольцами и, в частности, упорядоченными алгебраическими системами, обладающими полукольцевой структурой (булевы алгебры, дистрибутивные решетки, ш-полурешетки) либо были решены в течение последних 30-40 лет, либо остаются открытыми до настоящего времени.
Как известно, решетку Ь можно рассматривать как алгебраическую систему (Ь,и,П), в которой роль сложения и умножения элементов играют операции их объединения и пересечения, так что решеточнозначные матрицы можно обычным образом складывать и умножать, используя сложение и умножение, имеющиеся в самой решетке. Особый интерес в этом отношении представляют ограниченные решетки, то есть решетки, обладающие наибольшим элементом 1 и наименьшим элементом 0, поскольку в этом случае матрица Е = Цб'Ц играет роль единичной матрицы, а следовательно, имеет смысл говорить об обратимости матриц над такими решетками.
В первую очередь исследовались матрицы над булевыми алгебрами. По всей видимости, первой работой в данном направлении следует считать статью Веддерберна [1]. Исследуя различные свойства матриц с элементами в булевой алгебре, Веддерберн в частности

получил необходимые и достаточные условия обратимости матрицы А — || CLij ||.

I) ач = 1 (г = 1, —, гг), (0.1)

йцПа = 0 (г ф к), (0.2)

II а5< = 1 (г = 1, —,«), (0.3)

ajiГajk = 0 (гфк). (0.4)
Позднее Люк [2] показал, что булевозначная матрица А обратима тогда и только тогда, когда она ортогональна, то есть удовлетворяет равенству ААТ = Е, где А1 — матрица, транспонированная
к матрице А, при этом Ат является обратной матрицей. Следующий важный шаг был сделан Рузерфордом [3]. Оказалось, что для булевозначной матрицы А условия {(0.1), (0.2)} эквивалентны условиям {(0.3), (0.4)}, так что для обратимости матрицы А необходимо и достаточно выполнения половины условий Веддерберна. В этой же статье Рузерфордом была установлена эквивалентность одно- и двусторонней обратимости булевозначной матрицы. Следует также отметить обзорные статьи Рудеану [4], Сагнаевой и Даленко [5], затрагивающие те же вопросы.
После того, как были изучены свойства обратимых матриц над булевыми алгебрами, возник вопрос о распространении данных результатов на более широкие классы решеток. Значительный вклад в развитие этой темы был сделан Скорняковым [6]. Он дал полное описание (состоящее из 11 эквивалентных свойств, включая условия Веддерберна-Рузерфорда) обратимых матриц над ограниченными дистрибутивными решетками. Им же был установлен следующий факт: множество элементов обратимых матриц над ограниченной дистрибутивной решеткой образует булеву алгебру.
Другое обобщение результатов Веддерберна-Рузерфорда было сделано Б лисом [7]. Блис исследовал матрицы над упорядоченным группоидом с 0 и 1, образующим верхнюю полурешетку, для которой 0 и 1 являлись, соответственно, наименьшим и наибольшим элементами. Предполагалась также дистрибутивность имеющегося в группоиде

при любой расстановке скобок и любом способе вычисления каждого элемента будет диагональной матрицей.
ПуСТЬ а(х 1
же расстановкой скобок, что и в -произведении матриц А]
В а(4к>ак%2> >4%»Кг) = 1 (г = 1
Каждое слагаемое вида а(а|2[, аЦ2
ствительно, пусть £1
«(4ь!> > а<С-1к КгМа
в силу выполненных для матрицы А3 условий (1.4). Заметим, что произведение двух таких слагаемых равно 0 вне зависимости от расстановки скобок внутри каждого слагаемого, а только при условии, что наборы индексов к
Пусть /3(х 1
•> ак?-1к1Г> Ь'*«*) ЧеРе3 °‘ ТоГДа
Ь = Ь{а + а1) = Ьа + Ьа = Ьа + 0 = Ьа < а,
где а' — т-дополнение элемента а. С другой стороны, так как а лежит в В(71), то по теореме 1.1.2 аа = а, и так как а < , ... ,а <
4**1 а то
а = /3(а